円に内接する三角形

2017年4月11日2019年8月21日

円に内接する三角形の面積の問題および円の弦と中心を結んだ三角形の面積の問題です。

１．B (防衛大)
円 $x^2-6x+y^2-2y+5=0$ と直線 $y=mx$ が，2点A, Bで交わっている．円の中心をCとし，Cから線分ABに下ろした垂線の足をHとする．
(1) Cの座標および円の半径を求めよ．
(2) $\bigtriangleup$ ABCの面積が2のとき，線分ABの長さを $l$ ，および線分CHの長さ $h$ を求めよ．
(3) (2)のときの $m$ の値を求めよ．

→解答

２．B (同志社大)
$xy$ 平面内に円 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ と直線 $y=mx~(m>1)$ がある．円の中心をCとし，円とこの直線の交点を原点から近い順にA, Bとする． $\bigtriangleup$ ABCの面積を $S$ とする．
(1) $S$ の最大値とそのときの $\angle$ ACBの大きさを求めよ．
(2) $m>1$ の場合に，線分ABの長さを $m$ を用いて表せ．
(3) $S$ が最大値をとるときの $m$ の値を求めよ．

→解答

３．B (東京大)
座標平面において，点P $(0,1)$ を中心とする半径1の円を $C$ とする． $a$ を $0<a<1$ を満たす実数とし，直線 $y=a(x+1)$ と $C$ との交点をQ, Rとする．
(1) $\bigtriangleup$ PQRの面積 $S(a)$ を求めよ．
(2) $a$ が $0<a<1$ の範囲を動くとき， $S(a)$ が最大となる $a$ を求めよ．