正弦定理・余弦定理1

2017年8月9日

正弦定理、余弦定理の問題です。まずは正弦定理から。

1.(佐賀大)
(1) 鋭角三角形ABCの外接円の半径をRとし,頂点A, B, Cに向かい合う辺の長さをa,~b,~cとおく.このとき,\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2Rを証明せよ.
(2) 45°, 60°, 75°を内角にもつ三角形を利用して,\sin 75^{\circ}の値を求めよ.

2.(京都大)
\bigtriangleupABCは鋭角三角形であり,\angle\mbox{A}=\dfrac{\pi}{3}であるとする.また\bigtriangleupABCの外接円の半径は1であるとする.
(1) \bigtriangleupABCの内心をPとするとき,\angle\mbox{BPC}を求めよ.
(2) \bigtriangleupABCの内接円の半径rのとりうる値の範囲を求めよ.

次に余弦定理です。まずは第1余弦定理から。

3.(静岡県立大)
\bigtriangleupABCはA=30^{\circ},~B=45^{\circ}であり,半径1の円に内接している.このとき,次のものを求めよ.
(1) 辺BCの長さ
(2) 辺ABの長さ
(3) \cos C

よく知られている方の余弦定理は第2余弦定理といいます。それを利用する問題をいくつか。ますは中線の長さを求める問題から。

4.((2) 日本大)
(1) \bigtriangleupABCにおいて,\mbox{AB}=8,~\mbox{BC}=12,~\mbox{CA}=10とし,BCの中点をMとする.このとき,\cos B=(~~~~~),~\mbox{AM}=(~~~~~)である.
(2) \bigtriangleupABCにおいて,\mbox{AB}=4,~\mbox{AC}=3,~\angle\mbox{A}=60^{\circ}のとき,頂点Aと辺BCの中点Mを結ぶ線分AMの長さを求めよ.
(3) 三角形ABCにおいて,a=9,~b=6,~c=7とし,辺BCを1:2に内分する点をDとする.このとき,\cos Bの値とADの長さを求めよ.

次に角の二等分線の長さを求める問題です。

5.((1) 京都大 (2) 同志社大)
(1) 辺AB,辺BC,辺CAの長さがそれぞれ12, 11, 10の三角形ABCを考える.\angleAの二等分線と辺BCの交点をDとするとき,線分ADの長さを求めよ.
(2) 三角形ABCにおいて,\mbox{BC}=3,~\mbox{CA}=5,~\mbox{AB}=7とする.\angle\mbox{A}の二等分線とBCとの交点をP,\angleCの二等分線とABとの交点をQとする.このとき,PQの長さを求めよ.

角の二等分線の長さは面積を利用しても求めることができます。

6.((1) 順天堂大 (2) 防衛大 (3) 名城大)
(1) \bigtriangleupABCにおいて,\mbox{AB}=3,~\mbox{AC}=4,~\angleA=120^{\circ},~\angleAの二等分線とBCの交点をDとするとき,ADの長さを求めよ.
(2) \bigtriangleupABCで,\mbox{AB}=3,~\mbox{BC}=5,~\mbox{CA}=3とする.\angleAの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき,線分ADの長さを求めよ.
(3) \bigtriangleupABCにおいて\angle\mbox{A}=90^{\circ},~\mbox{AB}=4,~\mbox{AC}=2とし,辺BC上に\angle\mbox{BAD}=30^{circ}が成り立つように点Dをとる.このとき,線分ADの長さを求めよ.

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