トレミーの定理

トレミー (プトレマイオス)の定理です。まずは証明問題を2つ。

1.(宮城教育大)
4辺の長さが\mbox{AB}=a,~\mbox{BC}=b,~\mbox{CD}=c,~\mbox{DA}=dである四角形ABCDが円に内接している.\mbox{AC}=x,~\mbox{BD}=yとおくとき,
(1) \bigtriangleupABCと\bigtriangleupCDAに余弦定理を適用して,xa,~b,~c,~dで表せ.また,ya,~b,~c,~dで表せ.
(2) xya,~b,~c,~dで表すと,xy=ac+bdとなる.このことを(1)を用いて示せ.

2.(熊本大)
四角形ABCDにおいて,\mbox{AB}=a,~\mbox{BC}=b,~\mbox{CD}=c,~\mbox{DA}=d,~\mbox{AC}=x,~\mbox{BD}=yとする.
(1) \cos A,~\cos B,~\cos C,~\cos Da,~b,~c,~d,~x,~yを用いて表せ.
(2) 四角形ABCDが円に内接するとき,xy=ac+bdが成り立つことを示せ.

トレミーの定理が利用できる問題を1つ。

3.(埼玉大)
円に内接する四角形ABCDで4辺の長さが\mbox{AB}=1,~\mbox{BC}=\sqrt{2},~\mbox{CD}=\sqrt{3},~\mbox{DA}=2であるとする.
(1) 対角線BDの長さを求めよ.
(2) 対角線ACの長さを求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ