四角形の面積

対角線の長さを利用する四角形の面積の公式にかかわる問題です。

1.(東北学院大)
四角形ABCDの対角線はその内部で角\thetaをなして交わっている.対角線の長さをx,~y,この四角形の面積をSとするとき
(1) S=\dfrac{1}{2}xy\sin\thetaであることを示せ.
(2) \theta=60^{\circ},~x+y=4のとき,Sの最大値を求めよ.

2.(自治医大)
四角形ABCDについて考える.2つの対角線の長さは\mbox{AC}=\dfrac{4}{\sqrt{3}},~\mbox{BD}=3であり,これら2つの対角線のなす鋭角が60°であるとする.四角形ABCDの面積を求めよ.

3.(法政大)
2つの対角線の長さの和が1となる四角形ABCDのうちで面積が最大となるのはどのような図形であるか.また,面積の最大値を求めよ.

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