微分の定義

2017年4月15日2017年5月10日

微分の定義についてです。微分係数、導関数が何を表しているかをしっかりと理解して下さい。

１．
Ⅰ．微分の定義に基づいて，次の関数を微分せよ．
(1) $y=x^3$
(2) $y=x^4$
(3) $y=c$ ( $c$ :定数)
Ⅱ． $n$ を自然数とするとき， $f(x)=x^n$ の導関数が $f'(x)=nx^{n-1}$ となることを示せ．

微分係数は導関数を求めてから数値を代入しても求まります。

２．((1) 成蹊大　(2) 立教大　(4) 中央大)
(1) 関数 $f(x)=2x^3-3x^2$ の $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を求めよ．
(2) $f(x)=x^4-2x^3+1$ のとき， ${\displaystyle\lim_{x \to 2}}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}$ を求めよ．
(3) $f(x)=x^3$ のとき， ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{f(2+3h)-f(2)}{h}$ の値を求めよ．
(4) ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{(3+h)^6-3^6}{h}$ の値を求めよ．

最後に抽象的な関数の問題です(関数方程式の問題です)。具体的に関数が与えられているわけではないから導関数も計算では求まらないので微分の定義を利用します。一部積分の知識が必要なので、積分を学習してからチャレンジしてみて下さい。

３．(早稲田大)
すべての実数 $x_1,~x_2$ に対して， $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)+3x_1x_2(x_1+x_2)-2$ を満たし， $f'(0)=1$ となる関数 $f(x)$ がある．このとき，
(1) $f(0)$ の値を求めよ．
(2) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ．
(3) $f(x)$ を求めよ．また， $f(x) \leqq 0$ を満たす $x$ の範囲を求めよ．
(4) 原点 $(0,0)$ から，曲線 $y=f(x)$ に引いた接線の方程式と共有点の座標を求めよ．