解の配置３

2017年4月16日2017年6月17日

次は「2つの解がともに $a$ より大きく $b$ より小さい」のパターンです。このパターンは解と係数の関係とは相性が悪く、実解、軸、境界の3条件で解くか、定数分離で解くことになります。定数分離してうまくいきそうなときはそれがいちばん楽だと思います。

１．(同志社大)
2次方程式 $x^2-(a-2)x+\dfrac{a}{2}+5=0$ が $1 \leqq x \leqq 5$ の範囲に異なる2つの実数解をもつための実数 $a$ の値の範囲を求めよ．

２．(昭和薬科大)
$m,~n$ は正の整数とする． $x$ についての2次方程式 $2x^2-2(m-1)x+n-2=0$ が $0<x<2$ の範囲で異なる2つの解をもつとき
(1) $m,~n$ の値を求めよ．
(2) 2つの解を求めよ．

次は $x^2$ の係数に文字が付いている場合です。

３．(岐阜大)
2次方程式 $mx^2-x-2=0$ の2つの実数解が，それぞれ以下のようになるための $m$ の条件を求めよ．
(1) 2つの解がともに $-1$ より大きい．
(2) 1つの解は1より小さく，他の解は1より小さい．
(3) 2つの解の絶対値がともに1より小さい．

このパターンの発展問題を2つ。

４．(千葉大)
$a$ を実数の定数とする．放物線 $y=x^2-ax+a$ が $x$ 軸の $1 \leqq x \leqq 2$ または $3 \leqq x \leqq 4$ を満たす部分と2つの異なる共有点を持つための $a$ の条件を求めよ．

５．(東京大)
$a,~b,~c,~d$ を正の数とする．不等式
$\left\{\begin{array}{l} s(1-a)-tb>0\\ -sc+t(1-d)>0 \end{array}\right.$
を同時にみたす正の数 $s,~t$ があるとき，2次方程式 $x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$ は $-1<x<1$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことを示せ．

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