三角方程式１

2017年4月16日2019年3月17日

三角関数を2次方程式に合成した方程式の問題です。対応関係に注意して下さい。

１．B (横浜国立大)
方程式 $\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\sin 3x}=3$ の $0 \leqq x \leqq \dfrac{3}{4}\pi$ における解の個数を求めよ．

２．B (東京理科大)
関数 $y=\cos 2x-\sin x~(0^{\circ} \leqq x < 360^{\circ})$ の最大値は(　　)で，最小値は(　　)である．与えられた実数 $a$ に対して，方程式
$\cos 2x-\sin x=a~(0^{\circ} \leqq x < 360^{\circ})\cdots$ ①
の解が4個存在するのは $(~~~~~)<a<(~~~~~)$ のときである．また， $a=(~~~~~)$ のときに限り，①の解は3個存在する．

→解答

３．B (鳴門教育大)
$0^{\circ}\leqq x \leqq 180^{\circ}$ のとき， $x$ の方程式 $\left|\dfrac{13}{4}-6\sin x-2\cos 2x\right|=k$ の解の個数を調べよ．ただし， $k$ は実数の定数とする．

→解答

４．B ((1) 長崎大　(2) 山口大)
(1) $0^{\circ}\leqq x \leqq 180^{\circ}$ のとき，方程式 $\cos 2x+4a\sin x+a-2=0$ が異なる2つの解をもつための $a$ の範囲を求めよ．
(2) $a$ を定数とする． $x$ についての方程式 $\cos 2x-4a\cos x-2a+1=0$ の $0 \leqq x < 2\pi$ での異なる実数解の個数は，定数 $a$ の値によってどのように変わるか．

→解答

５．B (奈良女子大)
与えられた正の実数 $a$ に対して， $0 \leqq x<2\pi$ の範囲で $\sin 3x-2\sin 2x+(2-a^2)\sin x=0$ はいくつ解をもつか調べよ．

→解答

６．B ((1) 東北学院大　(2) 信州大)
(1) $0 \leqq x < 2\pi$ のとき，方程式 $\cos 2x-a \cos x-a^2+1=0$ の解の個数を調べよ．ただし， $a$ は $a \geqq 0$ を満たす定数である．
(2) $\theta$ についての方程式 $2\cos 2\theta+3a\cos\theta+2-a^2=0$ が $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 360^{\circ}$ の範囲内にちょうど3つの解をもつように定数 $a$ の値を定めよ．