三角関数の合成２

2017年4月16日2019年3月17日

色々な形の関数が出てきますがある程度パターンは決まっているので、形によって適切な変形ができなければなりません。

１．B ((1) 関西大　(2) 群馬大　(3) 信州大)
(1) $\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta$ の $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 90^{\circ}$ における最大値と最小値を求めよ．
(2) $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ における $y=2\sin^2\theta-2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta+2$ の最大値と最小値を求めよ．
(3) 関数 $y=3\cos^2\theta-4\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta~\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の最大値，最小値およびそのときの $\theta$ を求めよ．

→解答

２．B (早稲田大)
$\theta$ のとる値の範囲が $\dfrac{\pi}{12} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{3}$ である関数
$y=\dfrac{4}{1+\tan^2\theta}+2\sin^2\theta+2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta$
の $y$ の最大値と最小値，および，そのときの $\theta$ の値を求めよ．

→解答

３．C (お茶の水女子大)
関数 $f(x)=a\sin^2 x+b\cos^2 x+c\sin x\cos x$ の最大値が2，最小値が $-1$ となる．このような $a,~b,~c$ をすべて求めよ．ただし， $a$ は整数， $b,~c$ は実数とする．

→解答

４．B ((1) 立教大　(2) 佐賀大)
(1) $0^{\circ} \leqq \theta <360^{\circ}$ の条件で，方程式 $\cos^2 \theta+\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta=1$ を満たす $\theta$ の値を求めよ．
(2) 不等式 $\cos^2 x-4\cos x\sin x-3\sin^2 x>-3~(0^{\circ} \leqq x < 180^{\circ})$ を解け．

→解答

５．B (南山大)
$x$ の方程式 $\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin^2 x+a=0$ がある． $a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のとき， $0 \leqq x<\pi$ でこの方程式の解を求めると $x=(~~~~~)$ である．また，この方程式が $0 \leqq x<\pi$ で2つの異なる解をもつとき， $a$ の範囲を求めるとその範囲は(　　)である．

→解答

次は2変数の問題です。

６．B (埼玉大)
次の式を満たすグラフをかけ．グラフがそうなることがわかるような説明や計算も簡潔に書くこと．
$\cos^2 y=\sin x\cos x+\dfrac{1}{2}$ (ただし， $0 \leqq x \leqq \pi,~0 \leqq y \leqq \pi$ とする)

→解答

７．C (慶応大)
$xy$ 平面上で，不等式 $x \geqq 0,~y \geqq 0,~x+y \leqq \dfrac{\pi}{2},~\dfrac{1}{2} \leqq \sin(x+y) \leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体の集合を領域 $D$ とする．
(1) 領域 $D$ の面積を求めよ．
(2) 点P $(x,y)$ が領域 $D$ の中を動くとき，
$3\sin^2\left(\dfrac{x}{2}+y\right)+\cos^2\left(\dfrac{x}{2}+y\right)+\sqrt{3}\sin(x+2y)+2$
の最大値と最小値を求めよ．