三角関数の合成3

2019年3月17日

次もよくある形です。

1.B (秋田大)
関数f(\theta)=\sin 2\theta+2(\sin\theta+\cos\theta)-1を考える.ただし,0 \leqq \theta \leqq \piとする.
(1) t=\sin\theta+\cos\thetaとおくとき,f(\theta)tの式で表せ.
(2) tのとりうる値の範囲を求めよ.
(3) f(\theta)の最大値,最小値を求め.そのときの\thetaの値を求めよ.

解答

2.B (名古屋市立大)
関数f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\dfrac{7}{4}について,次の問いに答えよ.ただし,0 \leqq x \leqq 2\piとする.
(1) t=\cos x-\sin xとおく.tのとりうる値の範囲を求め,f(x)tの式で表せ.
(2) f(x)の最大値と最小値,およびそれらを与えるxの値を求めよ.

解答

3.C (東北大)
関数f(x)=\left|2\cos^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin x+\sqrt{3}\cos x-\dfrac{5}{4}\right|と定める.
(1) t=-\sin x+\sqrt{3}\cos xとおく.f(x)tの関数として表せ.
(2) x0^{\circ} \leqq x \leqq 90^{\circ}の範囲を動くとき,tのとりうる値の範囲を求めよ.
(3) x0^{\circ} \leqq x \leqq 90^{\circ}の範囲を動くとき,f(x)のとりうる値の範囲を求めよ.また,f(x)が最大値をとるxは,60^{\circ}<x<75^{\circ}を満たすことを示せ.

解答

4.B (信州大)
0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}のとき,f(\theta)=\sin 2\theta-2a(\sin\theta+\cos\theta)+2とする.
(1) t=\sin\theta+\cos\thetaとおくとき,f(\theta)tの式で表せ.
(2) f(\theta)の最小値を求めよ.

解答

5.B (慶応大)
実数aに対し,y=\sqrt{3}(\sin 2x-2a\sin x)-(\cos 2x+2a\cos x)+aの最小値をm(a)とする.
(1) t=\sqrt{3}\sin x+\cos xとするとき,ytの式で表せ.
(2) m(a)を求めよ.
(3) m(a)の最大値を求めよ.

解答

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