三角関数の合成３

2017年4月16日2019年3月17日

次もよくある形です。

１．B (秋田大)
関数 $f(\theta)=\sin 2\theta+2(\sin\theta+\cos\theta)-1$ を考える．ただし， $0 \leqq \theta \leqq \pi$ とする．
(1) $t=\sin\theta+\cos\theta$ とおくとき， $f(\theta)$ を $t$ の式で表せ．
(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．
(3) $f(\theta)$ の最大値，最小値を求め．そのときの $\theta$ の値を求めよ．

→解答

２．B (名古屋市立大)
関数 $f(x)=\sin 2x+\sqrt{6}(\cos x-\sin x)-\dfrac{7}{4}$ について，次の問いに答えよ．ただし， $0 \leqq x \leqq 2\pi$ とする．
(1) $t=\cos x-\sin x$ とおく． $t$ のとりうる値の範囲を求め， $f(x)$ を $t$ の式で表せ．
(2) $f(x)$ の最大値と最小値，およびそれらを与える $x$ の値を求めよ．

→解答

３．C (東北大)
関数 $f(x)=\left|2\cos^2 x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin x+\sqrt{3}\cos x-\dfrac{5}{4}\right|$ と定める．
(1) $t=-\sin x+\sqrt{3}\cos x$ とおく． $f(x)$ を $t$ の関数として表せ．
(2) $x$ が $0^{\circ} \leqq x \leqq 90^{\circ}$ の範囲を動くとき， $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．
(3) $x$ が $0^{\circ} \leqq x \leqq 90^{\circ}$ の範囲を動くとき， $f(x)$ のとりうる値の範囲を求めよ．また， $f(x)$ が最大値をとる $x$ は， $60^{\circ}<x<75^{\circ}$ を満たすことを示せ．

→解答

４．B (信州大)
$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき， $f(\theta)=\sin 2\theta-2a(\sin\theta+\cos\theta)+2$ とする．
(1) $t=\sin\theta+\cos\theta$ とおくとき， $f(\theta)$ を $t$ の式で表せ．
(2) $f(\theta)$ の最小値を求めよ．

→解答

５．B (慶応大)
実数 $a$ に対し， $y=\sqrt{3}(\sin 2x-2a\sin x)-(\cos 2x+2a\cos x)+a$ の最小値を $m(a)$ とする．
(1) $t=\sqrt{3}\sin x+\cos x$ とするとき， $y$ を $t$ の式で表せ．
(2) $m(a)$ を求めよ．
(3) $m(a)$ の最大値を求めよ．