積和公式・和積公式３

2017年4月16日2019年3月17日

次は和積公式の図形問題への応用です。

１．C (滋賀医科大)
$A,~B,~C$ を三角形の内角とする．このとき，次のことを証明せよ．
(1) $\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2} \leqq \dfrac{1}{2}\left(1-\sin\dfrac{C}{2}\right)$
(2) $\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2} \leqq \dfrac{1}{8}$
(3) $\sin A+\sin B+\sin C \geqq 4\sin A\sin B\sin C$
(4) 三角形の外接円と内接円の半径をそれぞれ $R,~r$ とすると， $R \geqq 2r$ であり，等号は正三角形のときにのみ成り立つ．

→解答

２．C (東北大)
三角形ABCの内接円の半径を $r$ ，外接円の半径を $R$ とし， $h=\dfrac{r}{R}$ とする．また， $\angle\mbox{A}=2\alpha,~\angle\mbox{B}=2\beta,~\angle\mbox{C}=2\gamma$ とおく．
(1) $h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ となることを示せ．
(2) 三角形ABCが直角三角形のとき $h \leqq \sqrt{2}-1$ が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合か．
(3) 一般の三角形ABCに対して $h \leqq \dfrac{1}{2}$ が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合か．