積和公式・和積公式3

2019年3月17日

次は和積公式の図形問題への応用です。

1.C (滋賀医科大)
A,~B,~Cを三角形の内角とする.このとき,次のことを証明せよ.
(1) \sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2} \leqq \dfrac{1}{2}\left(1-\sin\dfrac{C}{2}\right)
(2) \sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2} \leqq \dfrac{1}{8}
(3) \sin A+\sin B+\sin C \geqq 4\sin A\sin B\sin C
(4) 三角形の外接円と内接円の半径をそれぞれR,~rとすると,R \geqq 2rであり,等号は正三角形のときにのみ成り立つ.

解答

2.C (東北大)
三角形ABCの内接円の半径をr,外接円の半径をRとし,h=\dfrac{r}{R}とする.また,\angle\mbox{A}=2\alpha,~\angle\mbox{B}=2\beta,~\angle\mbox{C}=2\gammaとおく.
(1) h=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gammaとなることを示せ.
(2) 三角形ABCが直角三角形のときh \leqq \sqrt{2}-1が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのはどのような場合か.
(3) 一般の三角形ABCに対してh \leqq \dfrac{1}{2}が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのはどのような場合か.

解答

次の問題は色々な解き方があります。

3.B (京都大)
\alpha,~\beta,~\gamma\alpha>0,~\beta>0,~\gamma>0,~\alpha+\beta+\gamma=\piを満たすものとする.このとき,\sin\alpha\sin\beta\sin\gammaの最大値を求めよ.

解答

最後に1、2の焼き直しですが誘導やヒントが少ない問題です。

4.C (京都大)
平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある.\bigtriangleupABCの内接円の半径r\dfrac{1}{2}以下であることを示せ.

解答

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