積和公式・和積公式４

2017年4月16日2019年3月17日

３の続きです。

１．B (三重大)
座標平面上で3点A $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ , B $(\cos\beta,\sin\beta)$ , C $(1,0)$ を考える．ただし， $0^{\circ}<\alpha<\beta<360^{\circ}$ とする． $\bigtriangleup$ ABCの3辺BC, CA, ABの長さを順に $a,~b,~c$ とおくとき
(1) $c^2=4-4\cos^2\dfrac{\beta-\alpha}{2}$ が成立することを示せ．
(2) $a^2+b^2+c^2=8-8\cos\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\beta}{2}\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}$ が成立することを示せ．
(3) $a^2+b^2+c^2=8$ ならば， $\bigtriangleup$ ABCは直角三角形であることを示せ．

→解答

２．C (京都大)
半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある．
(1) $\mbox{AB}^2+\mbox{BC}^2+\mbox{CA}^2>8$ ならば三角形ABCは鋭角三角形であることを示せ．
(2) $\mbox{AB}^2+\mbox{BC}^2+\mbox{CA}^2 \leqq 9$ が成立することを示せ．また，この等号が成立するのはどのような場合か．