積和公式・和積公式4

2019年3月17日

3の続きです。

1.B (三重大)
座標平面上で3点A(\cos\alpha,\sin\alpha), B(\cos\beta,\sin\beta), C(1,0)を考える.ただし,0^{\circ}<\alpha<\beta<360^{\circ}とする.\bigtriangleupABCの3辺BC, CA, ABの長さを順にa,~b,~cとおくとき
(1) c^2=4-4\cos^2\dfrac{\beta-\alpha}{2}が成立することを示せ.
(2) a^2+b^2+c^2=8-8\cos\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\beta}{2}\cos\dfrac{\beta-\alpha}{2}が成立することを示せ.
(3) a^2+b^2+c^2=8ならば,\bigtriangleupABCは直角三角形であることを示せ.

解答

2.C (京都大)
半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある.
(1) \mbox{AB}^2+\mbox{BC}^2+\mbox{CA}^2>8ならば三角形ABCは鋭角三角形であることを示せ.
(2) \mbox{AB}^2+\mbox{BC}^2+\mbox{CA}^2 \leqq 9が成立することを示せ.また,この等号が成立するのはどのような場合か.

解答

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