導関数の利用

2019年8月26日

導関数を利用する問題です。

1.(山梨大)
関数y=f(x)~(-\infty<x<\infty)が,正の定数pによりf(x+p)=f(x)となるとき,f(x)pを周期とする周期関数という.
(1) \sin (\sqrt{2}x)の周期を求めよ.
(2) 関数y=f(x)~(-\infty<x<\infty)が,pを周期とする周期関数であり,さらに,定数Mにより|f(x)| \leqq M~(0 \leqq x \leqq p)となっていれば,すべてのx~(-\infty<x<\infty)について|f(x)| \leqq Mとなることを示せ.
(3) (2)のf(x)について,さらに,f(x)-\infty<x<\inftyが微分可能であれば,導関数f'(x)も周期pの周期関数であることを示せ.
(4) \sin (x^2)は周期関数ではないことを示せ.

解答

2.(京都大)
定数c~(c \ne 0)に対して,等式f(x+c)=f(x)がすべてのxについて成り立つとき,関数f(x)は周期関数であるといい,またこの等式を満たすような正の数cのうちの最小値をf(x)の周期という.次の関数は周期関数であるか否かを,理由をつけて答えよ.また,周期関数である場合には,その周期を求めよ.
(1) f(x)=\sin (\sin x)
(2) f(x)=\cos (\sin x)
(3) f(x)=\sin (x^3)
(4) f(x)=2^{\sin x}

解答

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