導関数の利用

2017年4月16日2019年8月26日

導関数を利用する問題です。

１．(山梨大)
関数 $y=f(x)~(-\infty<x<\infty)$ が，正の定数 $p$ により $f(x+p)=f(x)$ となるとき， $f(x)$ は $p$ を周期とする周期関数という．
(1) $\sin (\sqrt{2}x)$ の周期を求めよ．
(2) 関数 $y=f(x)~(-\infty<x<\infty)$ が， $p$ を周期とする周期関数であり，さらに，定数 $M$ により $|f(x)| \leqq M~(0 \leqq x \leqq p)$ となっていれば，すべての $x~(-\infty<x<\infty)$ について $|f(x)| \leqq M$ となることを示せ．
(3) (2)の $f(x)$ について，さらに， $f(x)$ が $-\infty<x<\infty$ が微分可能であれば，導関数 $f'(x)$ も周期 $p$ の周期関数であることを示せ．
(4) $\sin (x^2)$ は周期関数ではないことを示せ．

→解答

２．(京都大)
定数 $c~(c \ne 0)$ に対して，等式 $f(x+c)=f(x)$ がすべての $x$ について成り立つとき，関数 $f(x)$ は周期関数であるといい，またこの等式を満たすような正の数 $c$ のうちの最小値を $f(x)$ の周期という．次の関数は周期関数であるか否かを，理由をつけて答えよ．また，周期関数である場合には，その周期を求めよ．
(1) $f(x)=\sin (\sin x)$
(2) $f(x)=\cos (\sin x)$
(3) $f(x)=\sin (x^3)$
(4) $f(x)=2^{\sin x}$