円と接線２

2017年4月17日2019年8月21日

１の続きです。

１．B (甲南大)
3つの直線 $y=x-1,~y=-x+7,~y=-2x+8$ について，
(1) この3つの直線で囲まれた三角形の面積を求めよ．
(2) (1)の三角形に内接する円の半径を求めよ．
(3) (2)の内接円の方程式を求めよ．

→解答

２．B (宮崎大)
座標平面上の点P $(a,b)~(a>0,~b>0)$ について，
(1) 点Pと直線 $y=mx$ との距離は $\dfrac{|ma-b|}{\sqrt{1+m^2}}$ であることを示せ．
(2) 点Pを中心とする円 $O$ が2直線 $y=\dfrac{5}{12}x,~y=\dfrac{4}{3}x$ の両方に接するとき， $b$ を $a$ を用いて表せ．
(3) (2)の条件を満たす円 $O$ の半径が6であるとき， $a,~b$ の値を求めよ．

→解答

３．B ((1), (2) 南山大　(3) 法政大)
(1) 第1象限に中心をもつ半径2の円 $C$ が2つの直線 $y=\dfrac{3}{4}x$ と $y=\dfrac{4}{3}x$ に接している．このとき， $C$ の中心の座標と2つの接点の座標を求めよ．
(2) 座標平面上の3直線 $l_1:y=\dfrac{1}{7}x,~l_2:y=-\dfrac{1}{7}x,~y=-x+12$ を考える． $l_1,~l_2,~l_3$ で囲まれる内心の座標と，内接円の半径をそれぞれ求めよ．
(3) 点 $(4,3)$ を通り，2つの直線 $x-2y=0,~2x-y=0$ に接する円の方程式を求めよ．

→解答

内心と傍心への応用です。

４．B (東京都立大)
3直線 $l_1:x-y+2=0,~l_2:x+y-14=0,~l_3:7x-y-10=0$ で囲まれる三角形に内接する円の方程式を求めよ．

→解答

５．B (京都工繊大)
$xy$ 平面において，原点O，点A $(5,12)$ および点B $(9,12)$ を考える．OとAを通る直線を $l_1$ ，OとBを通る直線を $l_2$ ，AとBを通る直線を $l_3$ とする．
(1) $\angle\mbox{AOB}$ の二等分線の方程式を求めよ．
(2) 3つの直線 $l_1,~l_2,~l_3$ のいずれにも接する円で，その中心が第1象限にあるものすべてについて，中心の座標と半径を求めよ．