極と極線

2019年9月8日

極と極線の問題です。

極と極線のまとめ

1.B ((1) 慶応大)
(1) 点(3,1)から円x^2+y^2=5に2本の接線を引き,その2つの接点をそれぞれA, Bとする.このとき,2点A, Bを通る直線の方程式はy=(~~~~~)である.
(2) 点(2,7)から円(x-1)^2+y^2=25に2本の接線を引く.このとき,2接点のx座標は(  ), (  )であり,2接点を結ぶ直線はx+(~~~~~)y=(~~~~~)である.

解答

2.B
C:x^2+y^2=25と,点A(8,6)がある.Aから円Cに引いた2本の接線の接点をP, Qとし,直線PQをlで表すとき
(1) lの方程式を求めよ.
(2) l上の点で円Cの外部にある点Bをとる.Bから円Cに引いた2本の接線の接点をR, Sとするとき,直線RSはAを通ることを示せ.

解答

3.B (大阪大)
a>b>0とする.円x^2+y^2=a^2上の点(b,\sqrt{a^2-b^2})における接線とx軸との交点をPとする.また,円の外部の点(b,c)からこの円に2本の接線を引き,接点をQ, Rとする.このとき,2点Q, Rを通る直線はPを通ることを示せ.

解答

4.B (早稲田大)
aは定数で,a>1とする.座標平面において,円C:x^2+y^2=1,直線l:x=aとする.l上の点Pを通り円Cに接する2本の接線の接点をそれぞれA, Bとするとき,直線ABは,点Pによらず,ある定点を通ることを示し,その定点の座標を求めよ.

解答

5.C (一橋大)
xy平面上に曲線C_1:y=\dfrac{x^2}{8}-2と原点を中心とする半径1の円C_2がある.
(1) tを実数とする.曲線C_1上の点\left(t,\dfrac{t^2}{8}-2\right)から円C_2へ引いた2本の接線が,それぞれ点\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2C_2と接する.\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2を通る直線lの方程式を求めよ.
(2) (1)で求めた直線lは,tの値にかかわらず,ある円に接することを示し,その円の方程式を求めよ.

解答

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