極と極線

2017年4月17日2019年9月8日

極と極線の問題です。

１．B ((1) 慶応大)
(1) 点 $(3,1)$ から円 $x^2+y^2=5$ に2本の接線を引き，その2つの接点をそれぞれA, Bとする．このとき，2点A, Bを通る直線の方程式は $y=(~~~~~)$ である．
(2) 点 $(2,7)$ から円 $(x-1)^2+y^2=25$ に2本の接線を引く．このとき，2接点の $x$ 座標は(　　), (　　)であり，2接点を結ぶ直線は $x+(~~~~~)y=(~~~~~)$ である．

→解答

２．B
円 $C:x^2+y^2=25$ と，点A $(8,6)$ がある．Aから円 $C$ に引いた2本の接線の接点をP, Qとし，直線PQを $l$ で表すとき
(1) $l$ の方程式を求めよ．
(2) $l$ 上の点で円 $C$ の外部にある点Bをとる．Bから円 $C$ に引いた2本の接線の接点をR, Sとするとき，直線RSはAを通ることを示せ．

→解答

３．B (大阪大)
$a>b>0$ とする．円 $x^2+y^2=a^2$ 上の点 $(b,\sqrt{a^2-b^2})$ における接線と $x$ 軸との交点をPとする．また，円の外部の点 $(b,c)$ からこの円に2本の接線を引き，接点をQ, Rとする．このとき，2点Q, Rを通る直線はPを通ることを示せ．

→解答

４．B (早稲田大)
$a$ は定数で， $a>1$ とする．座標平面において，円 $C:x^2+y^2=1$ ，直線 $l:x=a$ とする． $l$ 上の点Pを通り円 $C$ に接する2本の接線の接点をそれぞれA, Bとするとき，直線ABは，点Pによらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

→解答

５．C (一橋大)
$xy$ 平面上に曲線 $C_1:y=\dfrac{x^2}{8}-2$ と原点を中心とする半径1の円 $C_2$ がある．
(1) $t$ を実数とする．曲線 $C_1$ 上の点 $\left(t,\dfrac{t^2}{8}-2\right)$ から円 $C_2$ へ引いた2本の接線が，それぞれ点 $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2$ で $C_2$ と接する． $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2$ を通る直線 $l$ の方程式を求めよ．
(2) (1)で求めた直線 $l$ は， $t$ の値にかかわらず，ある円に接することを示し，その円の方程式を求めよ．