円の共通接線

2017年4月18日2019年8月21日

2円の共通接線の問題です。

１．B (宮崎大)
2つの円 $C_1:x^2+y^2=4,~C_2:(x-4)^2+y^2=1$ の両方に接する直線は全部で4本ある．この4本の直線の方程式を求めよ．

２．B (青山学院大)
円 $(x-5)^2+y^2=1$ と円 $x^2+y^2=4$ について，
(1) 2円の共通接線は全部で何本あるか．
(2) 2円の共通接線のうち接点がすべて第1象限にあるものの方程式を求めよ．
(3) 各接線について2円との接点を結ぶ線分の長さのうち，最小のものと最大のものを求めよ．

→解答

３．B (防衛医大)
2つの円 $C_1:x^2+y^2+2x+2y=2$ と $C_2:x^2+y^2-2ax-4y=-4$ が外接しているとき，接点における共通接線の方程式を求めよ．ただし， $a>0$ であるとする．

→解答

４．C (早稲田大)
$xy$ 平面において，点 $(5\sqrt{3},0)$ を中心とする半径5の円を $C$ ，点 $(-4\sqrt{3},0)$ を中心とする半径4の円を $D$ とする． $C,~D$ の共通接線のうち， $C,~D$ が異なる側にあり傾きが正であるものを $l$ ，傾きが負であるものを $l'$ とし， $C,~D$ が同じ側にあり傾きが正であるものを $m$ とする．
(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ．
(2) 直線 $m$ の方程式を求めよ．
(3) 三直線 $l,~l',~m$ のすべてに接し $C,~D$ と異なる円を $E,~E'$ とする．二円 $E,~E'$ の中心の $x$ 座標を求めよ．
(4) (3)の円 $E,~E'$ の半径を求めよ．

→解答

５．C (慶応大)
$xy$ 平面上に円 $O:x^2+y^2=9$ と円 $C:(x-5\sqrt{2})^2+y^2=4$ ，点 $(a,a)$ を中心とする円 $P$ がある．円 $O$ は円 $P$ に内接し，円 $C$ は円 $P$ に外接する．また，円 $O$ と円 $C$ の共通接線のうち，2つの接点の $y$ 座標がいずれも負となるものを接線 $l$ とする．ただし， $a$ は $a>0$ とする．このとき，
(1) $a$ の値を求めよ．
(2) 接線 $l$ の方程式と接線 $l$ が円 $P$ によって切り取られる線分の長さを求めよ．