2円の位置関係２

2017年4月18日2019年8月21日

2円の位置関係の応用問題です。

１．B (青山学院大)
$xy$ 平面上の半径1の円 $C$ が，直線 $x+\sqrt{3}y=4$ と単位円 $x^2+y^2=1$ の両方に接するという．このとき $C$ の中心の座標を求めよ．

２．C (東京大)
$l$ を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の3条件(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)で定まる円 $C_1,~C_2$ を考える．
(ⅰ) 円 $C_1,~C_2$ は2つの不等式 $x \geqq 0,~y \geqq 0$ で定まる領域に含まれる．
(ⅱ) 円 $C_1,~C_2$ は直線 $l$ と同一点で接する．
(ⅲ) 円 $C_1$ は $x$ 軸と点 $(1,0)$ で接し，円 $C_2$ は $y$ 軸と接する．
円 $C_1$ の半径を $r_1$ ，円 $C_2$ の半径を $r_2$ とする． $8r_1+9r_2$ が最小となるような直線 $l$ の方程式と，その最小値を求めよ．

→解答

３．B (名古屋大)
2つの円 $x^2+(y-2)^2=9$ と $(x-4)^2+(y+4)^2=1$ に外接し，直線 $x=6$ に接する円を求めよ．ただし，2つの円がただ1点を共有し，互いに外部にあるとき，外接するという．

→解答

４．B (千葉大)
座標平面上に，中心がそれぞれ点 $(0,1)$ , 点 $(2,1)$ で，同じ半径1をもつ2つの円 $C_1$ と $C_2$ がある．
(1) 2円 $C_1,~C_2$ と $x$ 軸に接するように円 $C_3$ をかく．このとき，円 $C_3$ の中心の座標を求めよ．
(2) さらに，2円 $C_1,~C_3$ と $x$ 軸に接するように円 $C_2$ とは異なる円 $C_4$ をかく．このとき，円 $C_4$ の中心の座標を求めよ．

→解答

５．B (東京大)
座標平面において原点を中心とする半径2の円を $C_1$ とし，点 $(1,0)$ を中心とする半径1の円を $C_2$ とする．また，点 $(a,b)$ を中心とする半径 $t$ の円 $C_3$ が， $C_1$ に内接し，かつ $C_2$ に外接すると仮定する．ただし， $b$ は正の実数とする．
(1) $a,~b$ を $t$ を用いて表せ．また， $t$ がとりうる値の範囲を求めよ．
(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき， $b$ の最大値を求めよ．