2円の位置関係2

2019年8月21日

2円の位置関係の応用問題です。

1.B (青山学院大)
xy平面上の半径1の円Cが,直線x+\sqrt{3}y=4と単位円x^2+y^2=1の両方に接するという.このときCの中心の座標を求めよ.

解答

2.C (東京大)
lを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする.さらに,以下の3条件(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)で定まる円C_1,~C_2を考える.
(ⅰ) 円C_1,~C_2は2つの不等式x \geqq 0,~y \geqq 0で定まる領域に含まれる.
(ⅱ) 円C_1,~C_2は直線lと同一点で接する.
(ⅲ) 円C_1x軸と点(1,0)で接し,円C_2y軸と接する.
C_1の半径をr_1,円C_2の半径をr_2とする.8r_1+9r_2が最小となるような直線lの方程式と,その最小値を求めよ.

解答

3.B (名古屋大)
2つの円x^2+(y-2)^2=9(x-4)^2+(y+4)^2=1に外接し,直線x=6に接する円を求めよ.ただし,2つの円がただ1点を共有し,互いに外部にあるとき,外接するという.

解答

4.B (千葉大)
座標平面上に,中心がそれぞれ点(0,1), 点(2,1)で,同じ半径1をもつ2つの円C_1C_2がある.
(1) 2円C_1,~C_2x軸に接するように円C_3をかく.このとき,円C_3の中心の座標を求めよ.
(2) さらに,2円C_1,~C_3x軸に接するように円C_2とは異なる円C_4をかく.このとき,円C_4の中心の座標を求めよ.

解答

5.B (東京大)
座標平面において原点を中心とする半径2の円をC_1とし,点(1,0)を中心とする半径1の円をC_2とする.また,点(a,b)を中心とする半径tの円C_3が,C_1に内接し,かつC_2に外接すると仮定する.ただし,bは正の実数とする.
(1) a,~btを用いて表せ.また,tがとりうる値の範囲を求めよ.
(2) tが(1)で求めた範囲を動くとき,bの最大値を求めよ.

解答

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