円の直交

2019年8月21日

円の直交の問題です。

1.B (富山大)
(1) 平面上の2円C_1,~C_2が,異なる2点P, Qで交わっているとする.点Pにおける円C_1の接線と点Pにおける円C_2の接線のなす角を\alpha~(0^{\circ}<\alpha \leqq 90^{\circ})とし,点Qにおける円C_1の接線と点Qにおける円C_2の接線のなす角を\beta~(0^{\circ}<\beta \leqq 90^{\circ})とする.このとき,\alpha=\betaであることを示せ.
(2) xy平面上の2点(1,0),~(0,1)を通る円C_1が,円C_2:x^2+y^2=4と異なる2点で交わるとする.(1)における角\alpha~(=\beta)が90°であるとき,円C_1の方程式を求めよ.

解答

2.B (横浜市立大)
rを1より大きい実数とする.座標平面上の円C_rは,2点(-1,0),~(1,0)を通り,半径がrで中心のy座標が正であるとする.
(1) C_rの方程式を求めよ.
(2) 半径が\sqrt{3}で中心のx座標が正の円を考える.これらの中で,すべてのC_r~(r>1)と直交するものをSとする.円Sの方程式を求めよ.ただし,2つの円が直交するとは,交点におけるそれぞれの接線が直交することである.
(3) (2)で求めた円SC_rの2つの交点の間の距離を求めよ.

解答

3.C (東京大)
平面上に3つの円C_1,~C_2,~C_3があって,C_1C_2は相異なる2点A, Bで交わり,C_3C_1およびC_2と互いに直交している.ただし,2つの円が互いに直交しているとは,2つの円に共通点があって,各共通点におけるそれぞれの円に対する接線がその共通点で直交しているときをいう.
(1) 円C_3の中心は,2点A, Bを通る直線上にあることを示せ.
(2) 2点A, Bの一方は円C_3の内側に,他方は円C_3の外側にあることを示せ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ