円の直交

2017年4月18日2019年8月21日

円の直交の問題です。

１．B (富山大)
(1) 平面上の2円 $C_1,~C_2$ が，異なる2点P, Qで交わっているとする．点Pにおける円 $C_1$ の接線と点Pにおける円 $C_2$ の接線のなす角を $\alpha~(0^{\circ}<\alpha \leqq 90^{\circ})$ とし，点Qにおける円 $C_1$ の接線と点Qにおける円 $C_2$ の接線のなす角を $\beta~(0^{\circ}<\beta \leqq 90^{\circ})$ とする．このとき， $\alpha=\beta$ であることを示せ．
(2) $xy$ 平面上の2点 $(1,0),~(0,1)$ を通る円 $C_1$ が，円 $C_2:x^2+y^2=4$ と異なる2点で交わるとする．(1)における角 $\alpha~(=\beta)$ が90°であるとき，円 $C_1$ の方程式を求めよ．

→解答

２．B (横浜市立大)
$r$ を1より大きい実数とする．座標平面上の円 $C_r$ は，2点 $(-1,0),~(1,0)$ を通り，半径が $r$ で中心の $y$ 座標が正であるとする．
(1) $C_r$ の方程式を求めよ．
(2) 半径が $\sqrt{3}$ で中心の $x$ 座標が正の円を考える．これらの中で，すべての $C_r~(r>1)$ と直交するものを $S$ とする．円 $S$ の方程式を求めよ．ただし，2つの円が直交するとは，交点におけるそれぞれの接線が直交することである．
(3) (2)で求めた円 $S$ と $C_r$ の2つの交点の間の距離を求めよ．

→解答

３．C (東京大)
平面上に3つの円 $C_1,~C_2,~C_3$ があって， $C_1$ と $C_2$ は相異なる2点A, Bで交わり， $C_3$ は $C_1$ および $C_2$ と互いに直交している．ただし，2つの円が互いに直交しているとは，2つの円に共通点があって，各共通点におけるそれぞれの円に対する接線がその共通点で直交しているときをいう．
(1) 円 $C_3$ の中心は，2点A, Bを通る直線上にあることを示せ．
(2) 2点A, Bの一方は円 $C_3$ の内側に，他方は円 $C_3$ の外側にあることを示せ．