円と放物線３

2017年4月19日2019年8月21日

最後にポンスレの閉形定理に関わる問題です。最近では早稲田大理工で出題があります。２の名古屋大の問題は少し難しいかもしれません。早稲田大の方が誘導は親切です。

１．B (大阪市立大)
円 $x^2+(y-2)^2=1$ を $C$ とし，放物線 $y=x^2$ の上に相異なる3点A $(2,4)$ , P $(p,p^2)$ , Q $(q,q^2)~(p<q)$ をとる．直線AP, AQがともに円 $C$ に接するとき，
(1) $p,~q$ を求めよ．
(2) 直線PQが円 $C$ に接することを示せ．

→解答

２．C (名古屋大)
放物線 $y=x^2-2$ 上に相異なる3点P $(a,a^2-2)$ , Q $(b,b^2-2)$ , R $(c,c^2-2)$ がある．原点を中心とする半径1の円周を $S$ とし，直線PQと直線PRはそれぞれ $S$ に接するとする．
(1) 線分QRの中点の座標を $a$ を用いて表せ．
(2) 直線QRもまた $S$ に接することを証明せよ．