軌跡３

2017年4月20日2019年10月9日

2点間の距離を利用する軌跡の問題です。

１．(京都大)
単位円 $C:x^2+y^2=1$ 上の点Pをとり，定点A $(-2,0)$ からPへ線分を引き，その線分のPの側の延長線上に点Qを $\overline{\mbox{AP}}\cdot\overline{\mbox{PQ}}=3$ となるようにとる．
(1) $s=\overline{\mbox{AP}},~t=\overline{\mbox{OQ}}$ とおいて， $t$ を $s$ で表せ．ただし，Oは原点である．
(2) 点Pが円 $C$ 上を動くとき，点Qの描く軌跡を求めよ．

→解答

次の問題は理系では常識ですが、文系で出題されたものです。

２．(東京大)
座標平面において原点を中心とする半径2の円を $C_1$ とし，点 $(1,0)$ を中心とする半径1の円を $C_2$ とする．また，点 $(a,b)$ を中心とする半径 $t$ の円 $C_3$ が， $C_1$ に内接し，かつ $C_2$ に外接すると仮定する．ただし， $b$ は正の実数とする．
(1) $a,~b$ を $t$ を用いて表せ．また， $t$ がとりうる値の範囲を求めよ．
(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき， $b$ の最大値を求めよ．

→解答

３．(東京工業大)
水平な平面 $\alpha$ 上に半径 $r_1$ の球 $S_1$ と半径 $r_2$ の球 $S_2$ が乗っており， $S_1$ と $S_2$ は外接している．
(1) $S_1,~S_2$ が $\alpha$ と接する点をそれぞれ $\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2$ とする．線分 $\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ の長さを求めよ．
(2) $\alpha$ の上に乗っており， $S_1$ と $S_2$ の両方に外接している球すべてを考える．それらの球と $\alpha$ の接点は，1つの円の上または1つの直線の上にあることを示せ．