軌跡3

2019年10月9日

2点間の距離を利用する軌跡の問題です。

1.(京都大)
単位円C:x^2+y^2=1上の点Pをとり,定点A(-2,0)からPへ線分を引き,その線分のPの側の延長線上に点Qを\overline{\mbox{AP}}\cdot\overline{\mbox{PQ}}=3となるようにとる.
(1) s=\overline{\mbox{AP}},~t=\overline{\mbox{OQ}}とおいて,tsで表せ.ただし,Oは原点である.
(2) 点Pが円C上を動くとき,点Qの描く軌跡を求めよ.

解答

次の問題は理系では常識ですが、文系で出題されたものです。

2.(東京大)
座標平面において原点を中心とする半径2の円をC_1とし,点(1,0)を中心とする半径1の円をC_2とする.また,点(a,b)を中心とする半径tの円C_3が,C_1に内接し,かつC_2に外接すると仮定する.ただし,bは正の実数とする.
(1) a,~btを用いて表せ.また,tがとりうる値の範囲を求めよ.
(2) tが(1)で求めた範囲を動くとき,bの最大値を求めよ.

解答

3.(東京工業大)
水平な平面\alpha上に半径r_1の球S_1と半径r_2の球S_2が乗っており,S_1S_2は外接している.
(1) S_1,~S_2\alphaと接する点をそれぞれ\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2とする.線分\mbox{P}_1\mbox{P}_2の長さを求めよ.
(2) \alphaの上に乗っており,S_1S_2の両方に外接している球すべてを考える.それらの球と\alphaの接点は,1つの円の上または1つの直線の上にあることを示せ.

解答

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