重心の軌跡

2019年10月9日

重心の軌跡の問題です。

1.(日本女子大)
直線y=axが放物線y=x^2-2x+2に異なる2点P, Qで交わるとき,点P, Qと点R(1,0)のつくる三角形の重心をGとする.aを動かしたときの点Gの軌跡を求めよ.

解答

2.(名城大)
xy平面上の原点Oを中心とする半径1の円Cと,点A(3,0), B(3,3)について
(1) 点Aから円Cに引いた接線の方程式を求めよ.
(2) 点Aを通る傾きmの直線が円Cと異なる2点P, Qで交わるとき,mの値の範囲を求めよ.
(3) mが(2)で求めた範囲を動くとき,\bigtriangleupBPQの重心の軌跡を求めよ.

解答

3.(東京大)
座標平面上の1点P\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\right)をとる.放物線y=x^2上の2点Q(\alpha,\alpha^2), R(\beta,\beta^2)を3点P, Q, RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき,\bigtriangleupPQRの重心G(X,Y)の軌跡を求めよ.

解答

4.(大阪大)
放物線y=x^2上の相異なる3点P, Q, Rは\bigtriangleupPQRが正三角形になるように動いている.
(1) P, Q, Rのx座標をp,~q,~rとするとき,p^2+q^2+r^2pq+qr+rpのみで表せ.
(2) \bigtriangleupPQRの重心はある1つの放物線上にあることを示せ.

解答

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