交点の軌跡

2017年4月21日2019年10月31日

交点の軌跡の問題です。

１．(早稲田大)
放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+m~(m>0)$ の交点をP, Qとする．
(1) $m$ が変化するとき，線分PQの中点が描く図形の方程式を求めよ．
(2) $m$ が変化するとき，放物線の点P, Qにおける2本の接線の交点が描く図形の方程式を求めよ．

→解答

２．(成城大)
点A $(a,a-2)$ を通り，放物線 $y=x^2-2x+2$ 上にある点P $(p,p^2-2p+2)$ および点Q $(q,q^2-2q+2)$ をそれぞれ接点とする2本の接線を考える．ただし， $p<q$ とする．
(1) $a=2$ のとき， $p,~q$ を求めよ．
(2) $p$ および $q$ を $a$ で表せ．
(3) 点Aが直線 $y=x-2$ 上を動くとき，点Pと点Qの中点Mの軌跡を求めよ．

→解答

３．(東北大)
$a$ を実数とする． $xy$ 平面において，関数 $y=x^2$ と $y=-x^2+2ax-a$ のグラフをそれぞれ $C_1,~C_2$ とする．
(1) $C_1$ と $C_2$ が共有点をもたないような $a$ の範囲を求めよ．
(2) $a$ が(1)で求めた範囲にあるとき， $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線が2本存在することを示せ．
(3) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき， $C_1$ と $C_2$ の両方に接する2本の直線の交点が描く図形を図示せよ．