交点の軌跡

2019年10月31日

交点の軌跡の問題です。

1.(早稲田大)
放物線y=x^2と直線y=mx+m~(m>0)の交点をP, Qとする.
(1) mが変化するとき,線分PQの中点が描く図形の方程式を求めよ.
(2) mが変化するとき,放物線の点P, Qにおける2本の接線の交点が描く図形の方程式を求めよ.

解答

2.(成城大)
点A(a,a-2)を通り,放物線y=x^2-2x+2上にある点P(p,p^2-2p+2)および点Q(q,q^2-2q+2)をそれぞれ接点とする2本の接線を考える.ただし,p<qとする.
(1) a=2のとき,p,~qを求めよ.
(2) pおよびqaで表せ.
(3) 点Aが直線y=x-2上を動くとき,点Pと点Qの中点Mの軌跡を求めよ.

解答

3.(東北大)
aを実数とする.xy平面において,関数y=x^2y=-x^2+2ax-aのグラフをそれぞれC_1,~C_2とする.
(1) C_1C_2が共有点をもたないようなaの範囲を求めよ.
(2) aが(1)で求めた範囲にあるとき,C_1C_2の両方に接する直線が2本存在することを示せ.
(3) aが(1)で求めた範囲を動くとき,C_1C_2の両方に接する2本の直線の交点が描く図形を図示せよ.

解答

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