線分の中点の軌跡

2019年10月31日

線分の中点の軌跡の問題です。

1.(東京理科大)
両端が放物線y=x^2の上にある線分ABの中点をPとする.点A, Bのx座標をそれぞれa,~bとし,Pの座標を(p,q)とする.
(1) pおよびqを,abを用いて表せ.
(2) 積abを,pqを用いて表せ.
(3) 線分ABの長さが4であるときqpの式で表せ.
(4) 線分ABが長さを4に保って動くとき,qの最小値と,そのときのpの値を求めよ.

解答

2.(東京大)
放物線y=x^2上に2点P, Qがある.線分PQの中点のy座標をhとする.
(1) 線分PQの長さLと傾きmで,hを表せ.
(2) Lを固定したとき,hがとりうる値の最小値を求めよ.

解答

3.(東京理科大)
座標平面において,円C:x^2+(y-1)^2=1を考える.点P(a,b) (ただしb>2)をとり,点Pから円Cへ引いた2本の接線がx軸と交わる点をそれぞれA, Bとする.
(1) \mbox{AB}=4となるように点Pを動かすとき,三角形PABの面積が最小となるようなa,~bの値を求めよ.
(2) \angle\mbox{APB}=\dfrac{\pi}{2}となるように点Pを動かすとき,a,~bの満たす関係式を求めよ.
(3) 線分ABの中点が(2,0)となるように点Pを動かすとき,a,~bの満たす関係式を求めよ.

解答

4.(名城大)
aを正の定数とする.xy平面上に,2本の半直線l:y=-ax~(x<0),~m:y=ax~(x>0)がある.l上を点P(p,-ap)~(p<0)m上を点Q(q,aq)~(q>0)が,PQ=1を満たして動く.このとき,線分PQの中点をMとする.
(1) p,~qの満たす関係式を求めよ.
(2) Mの座標を(X,Y)とするとき,p,~qX,~Yを用いてそれぞれ表せ.
(3) Mの描く軌跡が,ある円の一部となるようなaの値を求め,そのときのMの軌跡を図示せよ.

解答

5.(東北大)
平面において,点P(s,t)は原点Oを中心とする半径1の円周上にあり,点Q(u,v)は点(1,0)を中心とする半径1の円周上にある.PとQがPQ=1を保ちながら動くとき,
(1) s \ne 1のとき,u,vstの式で表せ.
(2) 線分PQの中点の軌跡を図示せよ.

解答

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ