面積と軌跡

2017年4月21日2019年10月31日

面積と軌跡の問題です。

１．(京都大)
放物線 $y=x^2$ の上を動く2点P, Qがあって，この放物線と線分PQが囲む部分の面積が常に1であるとき，PQの中点Rが描く図形の方程式を求めよ．

２．(東京工業大)
放物線 $y=x^2$ を $C$ とし，2つの異なる点P, Qは $C$ 上を動くものとする．直線PQと $C$ とで囲まれる図形の面積が，一定の値 $\dfrac{1}{6}$ をとるとき，曲線 $C$ の点Pにおける接線とQにおける接線との交点Rは，どのような曲線上を動くか．その方程式を求めよ．

→解答

３．(九州大)
座標平面上の2つの放物線 $C_1:y=x^2,~C_2:y=-x^2+ax+b$ を考える．ただし， $a,~b$ は実数とする．
(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるための $a,~b$ に関する条件を求めよ．
以下， $a,~b$ が(1)の条件を満たすとし， $C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積が9であるとする．
(2) $b$ を $a$ を用いて表せ．
(3) $a$ がすべての実数値をとって変化するとき，放物線 $C_2$ の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．

→解答

４．(東京都立大)
$y=x^2$ のグラフを $\Gamma$ とする． $b<a^2$ を満たす点P $(a,b)$ から $\Gamma$ へ接線を2本引き，接点をA, Bとする． $\Gamma$ と2本の線分PA, PBで囲まれた図形の面積が $\dfrac{2}{3}$ になるような点Pの軌跡を求めよ．