面積と軌跡

2019年10月31日

面積と軌跡の問題です。

1.(京都大)
放物線y=x^2の上を動く2点P, Qがあって,この放物線と線分PQが囲む部分の面積が常に1であるとき,PQの中点Rが描く図形の方程式を求めよ.

解答

2.(東京工業大)
放物線y=x^2Cとし,2つの異なる点P, QはC上を動くものとする.直線PQとCとで囲まれる図形の面積が,一定の値\dfrac{1}{6}をとるとき,曲線Cの点Pにおける接線とQにおける接線との交点Rは,どのような曲線上を動くか.その方程式を求めよ.

解答

3.(九州大)
座標平面上の2つの放物線C_1:y=x^2,~C_2:y=-x^2+ax+bを考える.ただし,a,~bは実数とする.
(1) C_1C_2が異なる2点で交わるためのa,~bに関する条件を求めよ.
以下,a,~bが(1)の条件を満たすとし,C_1C_2で囲まれる部分の面積が9であるとする.
(2) baを用いて表せ.
(3) aがすべての実数値をとって変化するとき,放物線C_2の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ.

解答

4.(東京都立大)
y=x^2のグラフを\Gammaとする.b<a^2を満たす点P(a,b)から\Gammaへ接線を2本引き,接点をA, Bとする.\Gammaと2本の線分PA, PBで囲まれた図形の面積が\dfrac{2}{3}になるような点Pの軌跡を求めよ.

解答

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