動直線の交点の軌跡

2017年4月21日2017年7月20日

動直線の交点の軌跡の問題です。

１．(岐阜大)
$xy$ 平面において直線 $l:x+t(y-3)=0,~m:tx-(y+3)=0$ を考える(ただし， $t$ は実数)．
(1) $l$ は $t$ の値にかかわりなくある定点を通ることを示せ．
(2) $t$ が実数全体を動くとき， $l$ と $m$ との交点はどんな図形を描くか．

→解答

２．(島根大)
$k$ を実数とするとき，2つの直線 $l:(k+1)x+(1-k)y+k-1=0,~m:kx+y+1=0$ について，
(1) $k$ の値によらず $l$ はある定点を通ることを示せ．
(2) $l$ と $m$ のなす角のうち鋭角を $\theta$ とするとき， $\cos\theta$ を求めよ．
(3) $k$ がすべての実数をとるとき， $l$ と $m$ の交点の軌跡を求めよ．