反転１

2017年4月23日2017年7月20日

反転とよばれる問題です。いわゆる点の変換 (同じ平面内で点を対応させる規則のこと。数直線から数直線に対応させる規則を関数と呼びました。その拡張です。)の問題です。まずはどのような問題であるか問題の意味をつかんでみましょう。

１．(千葉工業大)
Oを原点とする $xy$ 平面上に直線 $l:\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$ がある． $l$ 上に点Pをとり，Oを端点とする半直線OP上に点Qを $\mbox{OP}\cdot\mbox{OQ}=8$ となるようにとる．P $(p,q)$ , Q $(X,Y)$ とするとき，
(1) P $(2,0)$ のとき，Q(　　)である．
(2) P, QがOを端点とする半直線上にあることから， $p=tX,~q=tY~(t>0)$ とおくことができる．このとき， $t=\dfrac{(~~~~~)}{X^2+Y^2}$ である．
(3) P $(p,q)$ が $l$ 上にあることから， $(X,Y)$ は
$X^2+Y^2-(~~~~~)X-(~~~~~)Y=0$
を満たす．よって，Qは中心(　　)，半径(　　)の円上にある．
(4) Pが $l$ 上を $(2,0)$ から $(3,-\sqrt{3})$ まで動くとき，Qが描く弧の長さは(　　)である．

→解答

次に反転によって直線がどのような図形に対応するかを求める問題です。

２．(東北学院大)
座標平面上に直線 $l:3x+4y=5$ がある． $l$ 上の点Pと原点Oを結ぶ線分上に $\mbox{OP}\cdot\mbox{OQ}=1$ となるように点Qをとる．
(1) P, Qの座標をそれぞれ $(x,y),~(X,Y)$ とするとき， $x$ と $y$ をそれぞれ $X$ と $Y$ で表せ．
(2) Pが $l$ 上を動くとき，点Qの軌跡を求めよ．

→解答

次は円がどのような点に対応するかを求める問題です。まずは具体的な問題からやってみましょう。

３．(静岡大)
$xy$ 平面上の原点O以外の点P $(x,y)$ に対して，点Qを次の条件を満たす平面上の点とする．
(A) Qは，Oを始点とする半直線OP上にある．
(B) 線分OPの長さと線分OQの長さの積は1である．
(1) Qの座標を $x, y$ を用いて表せ．
(2) Pが円 $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 上の原点以外の点を動くときのQの軌跡を求め，平面上に図示せよ．
(3) Pが円 $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ 上を動くときのQの軌跡を求め，平面上に図示せよ．

→解答

次はより一般的な問題です。一般的に計算するとどの項が消えてどういう図形に対応するかということがよくわかるので、ほぼ同じ問題かもしれませんがやっておく価値はあります。

４．(横浜国立大)
Oを原点とする $xy$ 平面上に円 $C:(x-1)^2+y^2=r^2~(r>0)$ がある． $C$ 上の点P(ただし， $r=1$ のときは，PはOでないとする)に対して，Oを端点としPを通る半直線上に $\mbox{OP} \cdot \mbox{OQ}=3$ を満たす点Qを定める．Pが $C$ 上を (ただし， $r=1$ のときはOを除いて)動くとき，Qが描く軌跡を $T$ とする．
(1) $r=1$ のときの $T$ の方程式を求めよ．
(2) $r \ne 1$ のとき， $T$ は円であることを示し，その中心と半径を求めよ．