反転2

2017年7月20日

1の続きです。次もよくある問題です。反転は極と極線とからんでよく出題されます。

1.(北海道大)
平面上に原点Oを中心とする半径rの円Cと点A(r,0)がある.y軸に平行な直線x=r上に点P(r,t)をとる.ただし,t \ne 0とする.
(1) 点Pを通り,円Cと接する直線で直線PAと異なるものをlとする.lと円Cとの接点をTとするとき,点Tの座標をr,~tを用いて表せ.
(2) 線分ATと線分OPとの交点をQとする.点Pが直線x=rの第1象限にある部分を動くとき,点Qの軌跡を求めよ.

解答

2.(名古屋大)
原点O(0,0)を中心とする半径1の円に,円外の点P(x_0,y_0)から2本の接線を引く.
(1) 2つの接点の中点をQとするとき,点Qの座標(x_1,y_1)を点Pの座標(x_0,y_0)を用いて表せ.また,\mbox{OP} \cdot \mbox{OQ}=1であることを示せ.
(2) 点Pが直線x+y=2上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ.

解答

3.(北海道大)
xy平面上の円x^2+y^2=1へ,この円の外部の点P(a,b)から2本の接線を引き,その接点をA, Bとし,線分ABの中点をQとする.
(1) 点Qの座標をa,~bを用いて表せ.
(2) 点Pが円(x-3)^2+y^2=1の上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ.

解答

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