反転と領域

2017年7月20日

反転の領域に関わる問題です。

1.(横浜国立大)
座標平面上で,原点Oと異なる点P(x,y)に対し,Oを端点とする半直線OP上に点Q(X,Y)\mbox{OP} \cdot \mbox{OQ}=4が成り立つようにとるものとする.
(1) X,~Yx,~yで表せ.
(2) Pがx+y \geqq 2,~x^2+y^2 \leqq 4で表される領域を動くとき,Qの存在する範囲をDとする.Dを不等式で表せ.
(3) (2)で求めた範囲Dを図示し,その面積を求めよ.

解答

2.(京都大)
xy平面上で,円C:x^2+y^2=1の外部にある点P(a,b)を考える.点Pから円Cに引いた2つの接線の接点を\mbox{Q}_1,~\mbox{Q}_2とし,線分\mbox{Q}_1\mbox{Q}_2の中点をQとする.点Pが円Cの外部で,x(x-y+1)<0を満たす範囲にあるとき,点Qの存在する範囲を図示せよ.

解答

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