点の変換と領域

2019年12月2日

点の変換と領域の問題です。

1.((2) 北海道薬科大 (4) 関西大 (5) 信州大)
(1) 点(x,y)が,原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき,点(x+y,xy)の動く範囲を図示せよ.
(2) 2次方程式x^2-px+q=0の実数解を\alpha,~\betaとする.点(\alpha,\beta)が原点を中心とする半径2の円の内部を動くとき,点(p,q)の動く範囲を図示せよ.
(3) 実数x,~yが不等式x^2+xy+y^2 \leqq 3を満たすとき,X=x+y,~Y=xyについて,点(X,Y)の存在する範囲を求めよ.
(4) 座標平面上の点(p,q)x^2+y^2 \leqq 8,~y \geqq 0で表される領域を動く.点(p+q,pq)の動く範囲を図示せよ.
(5) 点(u,v)が不等式(u+1)^2+(v-1)^2 \leqq 2の表す領域を動くとする.このとき,(u-v,uv)の動く領域を図示せよ.

解答

2.(広島大)
(1) 次の条件(A)を満たす座標平面上の点(u,v)の存在範囲を図示せよ.
(A) 2次式t^2-ut+vは,0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 1を満たす実数x,~yを用いてt^2-ut+v=(t-x)(t-y)と因数分解される.
(2) 次の条件(B)を満たす座標平面上の点(u,v)の存在範囲を図示せよ.
(B) 2次式t^2-ut+vは,0 \leqq x \leqq 1,~1 \leqq y \leqq 2を満たす実数x,~yを用いてt^2-ut+v=(t-x)(t-y)と因数分解される.
(3) 座標平面上の点(x,y)が4点(0,0),~(1,0),~(1,2),~(0,2)を頂点とする長方形の周および内部を動くとき,点(x+y,xy)の動く範囲の面積を求めよ.

解答

3.(東京薬科大)
xy平面上に,3点O(0,0), A(1,0), B(0,1)と動点P(x,y)があり,XY平面上の動点Q(X,Y)との間にはX=x+y,~Y=xyが成り立つとする.次の各場合,点Qの動く範囲を求め,図示せよ.
(1) Pが\bigtriangleupOABの周上を1周するとき.
(2) Pが\bigtriangleupOABの周と内部を動くとき.

解答

4.(北海道大)
(1) |X|+|Y|\leqq 2を満たす点P(X,Y)の存在する範囲をXY平面に図示せよ.
(2) x=X-Y,~y=XYとおく.点Q(X,Y)が(1)の範囲を動くとき,点(x,y)の動く範囲を求め,これを平面に図示せよ.

解答

5.(関西大)
座標平面上で点P(x,y)|x+y|+|x-y| \leqq 2をみたしながら動く.
(1) 点Pの存在する範囲を図示せよ.
(2) 点Q(x+y,x^2+y^2)の存在する範囲を図示せよ.

解答

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