曲線の通過領域

2017年4月28日

曲線の通過領域の問題です。

１．(大阪大)
曲線 $C:y=-x^2-1$ を考える．
(1) $t$ が実数全体を動くとき，曲線 $C$ 上の点 $(t,-t^2-1)$ を頂点とする放物線 $y=\dfrac{3}{4}(x-t)^2-t^2-1$ が通過する領域を $xy$ 平面上に図示せよ．
(2) $D$ を(1)で求めた領域の境界とする． $D$ が $x$ 軸の正の部分と交わる点を $(a,0)$ とし， $x=a$ での $C$ の接線を $l$ とする． $D$ と $l$ で囲まれた部分の面積を求めよ．