線形計画法1

線形計画法とよばれる問題の基本理論となる問題です。まずは条件式1次式、値を求める式1次式の場合から。

1.(山形大)
連立不等式3x+2y \leqq 22,~x+4y \leqq 24,~x \geqq 0,~y \geqq 0の表す座標平面上の領域をDとする.点(x,y)が領域Dを動くとき,
(1) x+yの最大値,および,その最大値を与えるx,~yの値を求めよ.
(2) 2x+yの最大値,および,その最大値を与えるx,~yの値を求めよ.
(3) aを正の実数とするとき,ax+yの最大値を求めよ.

2.(京都産業大)
xy平面上で,連立不等式y \leqq -2x+8,~y \leqq -\dfrac{2}{3}x+4,~y \geqq -\dfrac{1}{2}x+1,~x \geqq 0,~y \geqq 0の表す領域をDとする.
(1) 直線y=-2x+8と直線y=-\dfrac{2}{3}x+4との交点の座標は( ア )である.領域Dの面積は( イ )である.
(2) 領域D上の点(x,y)に対してx+yの値を考える.x+yの値が最大となる点の座標は( ウ )であり,x+yの値が最小となる点の座標は( エ )である.
(3) mを正の数とする.領域D上の点(x,y)に対してmx+yの値を考える.mx+yの値が( ア )で最大となるのは,mの値が( オ )の範囲にあるときである.また,mx+yの値の最小値が1であり,かつ,最大値が4であるのは,mの値が( カ )の範囲にあるときである.

3.(東京理科大)
次の連立方程式を満たす(x,y)の集合をDとする.
x+y \geqq 8,~x-2y \leqq 2,~x+3y \leqq 22
(1) 座標平面において,Dを表す領域を図示しなさい.
(2) mは定数とする.(x,y)が領域Dを動くとき,mx+yの最大値,最小値をそれぞれmで表しなさい.

4.(九州大)
座標平面上で,次の連立不等式の表す領域をDとする.
x+2y \leqq 5,~3x+y \leqq 8,~-2x-y \leqq 4,~-x-4y \leqq 7
点P(x,y)が領域D内を動くとき,x+yの値が最大になる点をQとし,最小となる点をRとする.
(1) 点Qおよび点Rの座標を求めよ.
(2) a>0かつb>0とする.点P(x,y)が領域D内を動くとき,ax+byが点Qでのみ最大値をとり,点Rでのみ最小値をとるとする.このとき,\dfrac{a}{b}の値の範囲を求めよ.

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