線形計画法１

2017年4月29日

線形計画法とよばれる問題の基本理論となる問題です。まずは条件式1次式、値を求める式1次式の場合から。

１．(山形大)
連立不等式 $3x+2y \leqq 22,~x+4y \leqq 24,~x \geqq 0,~y \geqq 0$ の表す座標平面上の領域を $D$ とする．点 $(x,y)$ が領域 $D$ を動くとき，
(1) $x+y$ の最大値，および，その最大値を与える $x,~y$ の値を求めよ．
(2) $2x+y$ の最大値，および，その最大値を与える $x,~y$ の値を求めよ．
(3) $a$ を正の実数とするとき， $ax+y$ の最大値を求めよ．

２．(京都産業大)
$xy$ 平面上で，連立不等式 $y \leqq -2x+8,~y \leqq -\dfrac{2}{3}x+4,~y \geqq -\dfrac{1}{2}x+1,~x \geqq 0,~y \geqq 0$ の表す領域を $D$ とする．
(1) 直線 $y=-2x+8$ と直線 $y=-\dfrac{2}{3}x+4$ との交点の座標は( ア )である．領域 $D$ の面積は( イ )である．
(2) 領域 $D$ 上の点 $(x,y)$ に対して $x+y$ の値を考える． $x+y$ の値が最大となる点の座標は( ウ )であり， $x+y$ の値が最小となる点の座標は( エ )である．
(3) $m$ を正の数とする．領域 $D$ 上の点 $(x,y)$ に対して $mx+y$ の値を考える． $mx+y$ の値が( ア )で最大となるのは， $m$ の値が( オ )の範囲にあるときである．また， $mx+y$ の値の最小値が1であり，かつ，最大値が4であるのは， $m$ の値が( カ )の範囲にあるときである．

３．(東京理科大)
次の連立方程式を満たす $(x,y)$ の集合を $D$ とする．
$x+y \geqq 8,~x-2y \leqq 2,~x+3y \leqq 22$
(1) 座標平面において， $D$ を表す領域を図示しなさい．
(2) $m$ は定数とする． $(x,y)$ が領域 $D$ を動くとき， $mx+y$ の最大値，最小値をそれぞれ $m$ で表しなさい．

４．(九州大)
座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を $D$ とする．
$x+2y \leqq 5,~3x+y \leqq 8,~-2x-y \leqq 4,~-x-4y \leqq 7$
点P $(x,y)$ が領域 $D$ 内を動くとき， $x+y$ の値が最大になる点をQとし，最小となる点をRとする．
(1) 点Qおよび点Rの座標を求めよ．
(2) $a>0$ かつ $b>0$ とする．点P $(x,y)$ が領域 $D$ 内を動くとき， $ax+by$ が点Qでのみ最大値をとり，点Rでのみ最小値をとるとする．このとき， $\dfrac{a}{b}$ の値の範囲を求めよ．

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