線形計画法３

2017年4月29日

次は領域が変化する場合です。

１．(明治学院大)
$x+y \leqq 1,~x+\dfrac{1}{3}y \leqq a,~x \geqq 0,~y \geqq 0$ (ただし， $a$ は定数)を同時に満たす領域を考える．点 $(x,y)$ がこの領域を動くとき， $2x+y$ がとる値の最大値を $a$ を用いて表せ．

２．(弘前大)
連立不等式
$-x+4y \leqq m,~2x-y \leqq n,~x \geqq 0,~y \geqq 0$
の表す領域において $2x+y$ が最大値12をとり，
連立不等式
$-x+4y \leqq m,~2x+y \leqq 12,~x \geqq 0,~y \geqq 0$
の表す領域において $x+2y$ が最大値 $3n$ をとるとき， $m$ と $n$ の値を求めよ．

３．(早稲田大)
以下の不等式(ⅰ)～(ⅴ)をすべて満たす点 $(x,y)$ からなる領域を $S$ とする．
(ⅰ) $-x+2y \leqq 20$
(ⅱ) $2x+3y \leqq 44$
(ⅲ) $4x-y \leqq 32$
(ⅳ) $x \geqq 0$
(ⅴ) $y \geqq 0$
(1) 領域 $S$ において $x+3y$ を最大にする点A $(x,y)$ とこのときの最大値 $M$ を求めよ．
(2) $a$ を実数， $b$ を正の実数とする．領域 $S$ において $ax+by$ を最大にする点が，(1)で求めた点Aのみの場合， $\dfrac{a}{b}$ がとりうる値の範囲を求めよ．
(3) $a$ を正の実数， $b$ を正の実数とする．領域 $S$ において $ax+by$ を最大にする点が複数あるとき， $\dfrac{a}{b}$ がとりうる値を求めよ．
(4) $c$ を実数とし，上記の不等式(ⅰ), (ⅱ), (ⅳ), (ⅴ)と不等式(ⅲ*) $4x-y \leqq c$ をすべて満たす点 $(x,y)$ からなる領域を $S^*$ とする．領域 $S^*$ において $x+3y$ の最大値が(1)で求めた $M$ であるとするとき， $c$ がとりうる最小値を求めよ．

４．(東京大)
$a,~b$ を実数とする．次の4つの不等式を同時に満たす点 $(x,y)$ 全体からなる領域を $D$ とする．
$x+3y \geqq a,~3x+y \geqq b,~ x \geqq 0,~y \geqq 0$
領域 $D$ における $x+y$ の最小値を求めよ．

５．(東京工業大)
$a>0$ とし， $x,~y$ が4つの不等式 $x \geqq 0,~y \geqq 0,~2x+3y \leqq 12,~ax+\left(4-\dfrac{3}{2}a\right)y \leqq 8$ を同時に満たしているとする．このとき， $x+y$ の最大値 $f(a)$ を求めよ．

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