線形計画法4

2017年7月12日

次は条件式に放物線を含むもの、求める値の式が1次の場合です。

1.
x,~yが不等式y \leqq 2x,~y \geqq x^2-3xを満足するときのy-axの最大値,最小値をaの値に応じて求めよ.

2.(宮崎大)
連立不等式\left\{\begin{array}{l} y \geqq x^2-2x+1\\ y \leqq -x^2+4x+1 \end{array}\right.の表す領域をDとする.
(1) Dを座標平面上に図示せよ.
(2) aを実数とする.点(x,y)Dを動くとき,-ax+yの最大値をf(a)とする.f(a)を求めよ.
(3) (2)で求めたf(a)に対し,関数b=f(a)のグラフをかけ.

3.(埼玉大)
a0<a<2を満たす実数とする.3つの不等式y \geqq x^2,~y \leqq -x^2+4x,~0 \leqq x \leqq aの表す領域をDとする.点(x,y)D上を動くとき,y-xの最大値をM(a),最小値をm(a)とする.
(1) M(a)を求めよ.
(2) m(a)を求めよ.

最後にこのテーマのラスボス問題です。接点を含むかどうかがカギとなります。場合分けも少し難しいかもしれません。ここまでできれば問題ないと思います。

4.(東京大)
aを正の実数とする.次の2つの不等式を同時に満たす点(x,y)全体からなる領域をDとする.
y \geqq x^2,~y \leqq -2x^2+3ax+6a^2
領域Dにおけるx+yの最大値,最小値を求めよ.

解答

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