線形計画法１０

2017年4月30日2017年7月20日

最後に点の変換とからんだ問題です。

１．(信州大)
点 $(x,y)$ が領域 $\{(x,y)~|~x^2+y^2 \leqq 1\}$ を動くとする．
(1) 点 $(x+y,xy)$ はどのような範囲を動くか，図示せよ．
(2) $x+y+xy$ のとる範囲を求めよ．

２．(青山学院大)
$x,~y$ は $x^2+y^2<1,~x>0,~y>0$ を満たす変数である．このとき
(1) 点 $(x,y)$ の存在範囲を図示せよ．
(2) $z=2x+y$ のとり得る値の範囲を求めよ．
(3) $u=x+y,~v=xy$ とおいて，点 $(u,v)$ の存在範囲を図示せよ．
(4) $z=x+y-4xy$ のとり得る値の範囲を求めよ．

３．(東京理科大)
2つの数 $x,~y$ に対し， $s=x+y,~t=xy$ とおく．
(1) $x,~y$ が実数を動くとき，点 $(s,t)$ の存在範囲を求めよ．
(2) 実数 $x,~y$ が $(x-y)^2+x^2y^2=4$ を満たしながら変化するとする．
(ア) 点 $(s,t)$ の描く図形を $st$ 平面上に図示せよ．
(イ) $(1-x)(1-y)$ のとりうる値の範囲を求めよ．

４．(東京工業大)
実数 $x,~y$ が $x^2+y^2 \leqq 1$ を満たしながら変化するとする．
(1) $s=x+y,~t=xy$ とするとき，点 $(s,t)$ の動く範囲を $st$ 平面に図示せよ．
(2) 負でない定数 $m$ をとるとき， $xy+m(x+y)$ の最大値，最小値を $m$ を用いて表せ．

→解答

５．(Ⅰ,Ⅱ 上智大)
Ⅰ．平面上で点 $(x,y)$ が $0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 1$ の範囲を動くとする．
(1) 点 $(x+y,xy)$ の動く範囲を図示し，その面積を求めよ．
(2) $p$ を定数としたとき，次式で与えられる関数 $f(x,y)$ のとりうる値の範囲を求めよ．
$f(x,y)=\dfrac{xy-p}{x+y+1}$
Ⅱ．座標平面上の点 $(x,y)$ が $-1 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 2$ の範囲を動くとき，点 $(x+y,xy)$ の動く範囲を図示せよ．また，このとき， $\dfrac{xy+m}{x+y+2}$ (ただし $m$ は定数)の最大値を求めよ．