線形計画法10

2017年7月20日

最後に点の変換とからんだ問題です。

1.(信州大)
(x,y)が領域\{(x,y)~|~x^2+y^2 \leqq 1\}を動くとする.
(1) 点(x+y,xy)はどのような範囲を動くか,図示せよ.
(2) x+y+xyのとる範囲を求めよ.

2.(青山学院大)
x,~yx^2+y^2<1,~x>0,~y>0を満たす変数である.このとき
(1) 点(x,y)の存在範囲を図示せよ.
(2) z=2x+yのとり得る値の範囲を求めよ.
(3) u=x+y,~v=xyとおいて,点(u,v)の存在範囲を図示せよ.
(4) z=x+y-4xyのとり得る値の範囲を求めよ.

3.(東京理科大)
2つの数x,~yに対し,s=x+y,~t=xyとおく.
(1) x,~yが実数を動くとき,点(s,t)の存在範囲を求めよ.
(2) 実数x,~y(x-y)^2+x^2y^2=4を満たしながら変化するとする.
(ア) 点(s,t)の描く図形をst平面上に図示せよ.
(イ) (1-x)(1-y)のとりうる値の範囲を求めよ.

4.(東京工業大)
実数x,~yx^2+y^2 \leqq 1を満たしながら変化するとする.
(1) s=x+y,~t=xyとするとき,点(s,t)の動く範囲をst平面に図示せよ.
(2) 負でない定数mをとるとき,xy+m(x+y)の最大値,最小値をmを用いて表せ.

解答

5.(Ⅰ,Ⅱ 上智大)
Ⅰ.平面上で点(x,y)0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 1の範囲を動くとする.
(1) 点(x+y,xy)の動く範囲を図示し,その面積を求めよ.
(2) pを定数としたとき,次式で与えられる関数f(x,y)のとりうる値の範囲を求めよ.
f(x,y)=\dfrac{xy-p}{x+y+1}
Ⅱ.座標平面上の点(x,y)-1 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 2の範囲を動くとき,点(x+y,xy)の動く範囲を図示せよ.また,このとき,\dfrac{xy+m}{x+y+2} (ただしmは定数)の最大値を求めよ.

解答

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