2次曲線の回転移動

2017年5月8日

2次曲線の回転移動の問題です。

１．((1) 東邦大)
(1) 楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{5}=1$ を原点の周りに45°回転した曲線の方程式を求めよ．
(2) 直角双曲線 $xy=1$ を原点Oの周りに $-45^{\circ}$ 回転して得られる曲線の方程式を求めよ．
(3) 曲線 $2x^2-\sqrt{3}xy+y^2=5$ を原点の周りに30°回転して得られる曲線の方程式を求めよ．

２．((1) 千葉大　(2) 宇都宮大)
(1) 方程式 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ の表す曲線は放物線の一部であることを示し，この放物線の焦点の座標と準線の方程式を求めよ．
(2) 長軸が4，短軸が2のだ円で，長軸が $y=x$ 上にあり，かつ $x$ 軸と $y$ 軸の両方に接するだ円の方程式を求めよ．

３．(山口大)
方程式 $x^2+y^2-2xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y-4=0$ で表される曲線を $C$ とする．
(1) 曲線 $C$ を原点の周りにある角度 $\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)$ だけ回転すると，2次曲線 $y=ax^2+bx+c$ のグラフになる．このとき， $\theta,~a,~b,~c$ を求めよ．
(2) 曲線 $C$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

４．(東京水産大)
$xy$ 平面上で，方程式 $5x^2+2\sqrt{3}xy+7y^2=1$ の表す図形 $C$ とする．
(1) $C$ 上の点 $(x,y)$ を原点のまわりに角 $\theta$ 回転した点を $(x',y')$ とするとき， $x',~y'$ は $ax'^2+2hx'y'+by'^2=1$ の形の方程式をみたすことを示せ．
(2) 上の $h$ が0となるときの $\theta~\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の値を求めよ．
(3) $C$ がだ円であることを説明し，長軸と短軸の長さを求めよ．

５．(芝浦工業大)
方程式 $x^2+6\sqrt{3}xy-5y^2=4$ で表される曲線がどんなものか調べる．
(1) 点 $(x,y)$ を原点のまわりに角 $-\theta~\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ だけ回転した点を $(x',y')$ とおくとき， $x,~y$ を $x',~y'$ を用いて表せ．
(2) (1)で得られた式を与えられた式に代入して， $x'y'$ の係数を0にしたときの $\theta$ とそのときの曲線の方程式を求めよ．
(3) もとの曲線が双曲線であることを説明し，もとの曲線の2本の漸近線を求めよ．

６．(岡山大)
座標平面上に双曲線 $C:x^2+y^2+4xy+3=0$ がある．原点Oを中心として角度 $\theta$ だけ $C$ を回転した図形を $C'$ とする．ただし， $-90^{\circ} \leqq \theta \leqq 90^{\circ}$ とする．
(1) $C'$ の対称軸の1つと $x$ 軸が垂直となる角度 $\theta$ を求め，そのときの $C'$ の方程式を記せ．
(2) $C'$ が第1象限の点を含むための $\theta$ の範囲を求めよ．

コメント一覧

まだ、コメントがありません