2次曲線の回転移動

2次曲線の回転移動の問題です。

1.((1) 東邦大)
(1) 楕円x^2+\dfrac{y^2}{5}=1を原点の周りに45°回転した曲線の方程式を求めよ.
(2) 直角双曲線xy=1を原点Oの周りに-45^{\circ}回転して得られる曲線の方程式を求めよ.
(3) 曲線2x^2-\sqrt{3}xy+y^2=5を原点の周りに30°回転して得られる曲線の方程式を求めよ.

2.((1) 千葉大 (2) 宇都宮大)
(1) 方程式\sqrt{x}+\sqrt{y}=2の表す曲線は放物線の一部であることを示し,この放物線の焦点の座標と準線の方程式を求めよ.
(2) 長軸が4,短軸が2のだ円で,長軸がy=x上にあり,かつx軸とy軸の両方に接するだ円の方程式を求めよ.

3.(山口大)
方程式x^2+y^2-2xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y-4=0で表される曲線をCとする.
(1) 曲線Cを原点の周りにある角度\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)だけ回転すると,2次曲線y=ax^2+bx+cのグラフになる.このとき,\theta,~a,~b,~cを求めよ.
(2) 曲線Cx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ.

4.(東京水産大)
xy平面上で,方程式5x^2+2\sqrt{3}xy+7y^2=1の表す図形Cとする.
(1) C上の点(x,y)を原点のまわりに角\theta回転した点を(x',y')とするとき,x',~y'ax'^2+2hx'y'+by'^2=1の形の方程式をみたすことを示せ.
(2) 上のhが0となるときの\theta~\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)の値を求めよ.
(3) Cがだ円であることを説明し,長軸と短軸の長さを求めよ.

5.(芝浦工業大)
方程式x^2+6\sqrt{3}xy-5y^2=4で表される曲線がどんなものか調べる.
(1) 点(x,y)を原点のまわりに角-\theta~\left(0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)だけ回転した点を(x',y')とおくとき,x,~yx',~y'を用いて表せ.
(2) (1)で得られた式を与えられた式に代入して,x'y'の係数を0にしたときの\thetaとそのときの曲線の方程式を求めよ.
(3) もとの曲線が双曲線であることを説明し,もとの曲線の2本の漸近線を求めよ.

6.(岡山大)
座標平面上に双曲線C:x^2+y^2+4xy+3=0がある.原点Oを中心として角度\thetaだけCを回転した図形をC'とする.ただし,-90^{\circ} \leqq \theta \leqq 90^{\circ}とする.
(1) C'の対称軸の1つとx軸が垂直となる角度\thetaを求め,そのときのC'の方程式を記せ.
(2) C'が第1象限の点を含むための\thetaの範囲を求めよ.

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