円楕円変換2

円楕円変換と楕円の領域の問題です。楕円と直線が囲む領域の面積は積分でも求まりますが、円楕円変換で円に直して考え、それを楕円に戻すのが王道です。いくつかの問題で練習してみましょう。

1.(福岡教育大)
x^2+3y^2=8で表される曲線をC_1とし,直線y=xに関してC_1と対称な曲線をC_2とする.曲線C_1で囲まれる部分とC_2で囲まれる部分の重なりあう部分をMとする.
(1) 曲線C_1と曲線y=xx軸とで囲まれる部分のうち,第1象限にある部分の面積を求めよ.
(2) Mの面積を求めよ.

2.((1) 早稲田大 (2) 津田塾大 (3) 信州大)
(1) 連立不等式\dfrac{x^2}{4}+y^2 \leqq 1,~\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)x+y\leqq 1の表す領域の面積を求めよ.
(2) 曲線4x^2-12x+4y^2+5=0と曲線x^2+4y^2-4=0とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(3) だ円\dfrac{x^2}{3}+y^2=1で囲まれた部分とだ円x^2+\dfrac{y^2}{3}=1で囲まれた部分の共通部分の面積を求めよ.

発展問題を2つ。

3.(東京工業大)
不等式\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4} \leqq 1で定まる領域をDとする.原点を中心としDを正の向きに45°回転させるとき,Dの点が通る点全体は平面上の1つの領域をつくる.この領域の第1象限にある部分の面積を求めよ.

4.(東京大)
方程式x^2-xy+y^2=3の表す曲線をCとする.
(1) 曲線Cを原点の回りに-45^{\circ}回転した曲線の方程式を求め,それを利用して曲線Cの概形をえがけ.
(2) 曲線Cの第1象限にある部分が,x軸,y軸と囲む図形の面積を求めよ.

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