円楕円変換２

2017年5月10日

円楕円変換と楕円の領域の問題です。楕円と直線が囲む領域の面積は積分でも求まりますが、円楕円変換で円に直して考え、それを楕円に戻すのが王道です。いくつかの問題で練習してみましょう。

１．(福岡教育大)
$x^2+3y^2=8$ で表される曲線を $C_1$ とし，直線 $y=x$ に関して $C_1$ と対称な曲線を $C_2$ とする．曲線 $C_1$ で囲まれる部分と $C_2$ で囲まれる部分の重なりあう部分を $M$ とする．
(1) 曲線 $C_1$ と曲線 $y=x$ と $x$ 軸とで囲まれる部分のうち，第1象限にある部分の面積を求めよ．
(2) $M$ の面積を求めよ．

２．((1) 早稲田大　(2) 津田塾大　(3) 信州大)
(1) 連立不等式 $\dfrac{x^2}{4}+y^2 \leqq 1,~\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)x+y\leqq 1$ の表す領域の面積を求めよ．
(2) 曲線 $4x^2-12x+4y^2+5=0$ と曲線 $x^2+4y^2-4=0$ とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(3) だ円 $\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$ で囲まれた部分とだ円 $x^2+\dfrac{y^2}{3}=1$ で囲まれた部分の共通部分の面積を求めよ．

発展問題を2つ。

３．(東京工業大)
不等式 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4} \leqq 1$ で定まる領域を $D$ とする．原点を中心とし $D$ を正の向きに45°回転させるとき， $D$ の点が通る点全体は平面上の1つの領域をつくる．この領域の第1象限にある部分の面積を求めよ．

４．(東京大)
方程式 $x^2-xy+y^2=3$ の表す曲線を $C$ とする．
(1) 曲線 $C$ を原点の回りに $-45^{\circ}$ 回転した曲線の方程式を求め，それを利用して曲線 $C$ の概形をえがけ．
(2) 曲線 $C$ の第1象限にある部分が， $x$ 軸， $y$ 軸と囲む図形の面積を求めよ．

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