楕円と直線２

2017年5月10日

楕円と直線の問題の続きです。楕円に内接する三角形の面積の最大値を求める問題をいくつか。自分でうまい方法を考えてみて下さい。今までのことのちょうどよい練習になります。

１．(金沢大)
曲線 $C:x^2+4y^2=4$ 上を動く点Pと， $C$ 上の定点Q $(2,0)$ , R $(0,1)$ がある．
(1) $\bigtriangleup$ PQRの面積の最大値と，そのときのPの座標を求めよ．
(2) (1)で求めた点Pに対して直線PQを考える．曲線 $C$ によって囲まれた図形を直線PQで2つに分けたとき，直線PQの下方にある部分の面積を求めよ．

２．(名古屋工業大)
楕円 $\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{3}=1$ を原点を中心に反時計回りに角 $\dfrac{\pi}{6}$ だけ回転して得られる曲線を $C$ とする．
(1) 曲線 $C$ の方程式を求めよ．
(2) 曲線 $y=t$ が $C$ と共有点をもつような実数 $t$ の範囲を求めよ．
(3) すべての頂点が $C$ 上にあり，1辺が $x$ 軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ．

３．(名古屋大)
平面上に楕円 $\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$ と直線 $l:y=x+k$ を考える．
(1) この楕円と直線 $l$ が2つの共有点をもつために $k$ がみたすべき条件を求めよ．
(2) $k$ は(1)の条件を満たすとし，さらに $k \ne 0$ とする．(1)における2つの共有点をP,　Qとし，Oを原点とするとき，三角形OPQの面積を最大にする $k$ の値，およびそのときの面積を求めよ．

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