楕円と直線2

楕円と直線の問題の続きです。楕円に内接する三角形の面積の最大値を求める問題をいくつか。自分でうまい方法を考えてみて下さい。今までのことのちょうどよい練習になります。

1.(金沢大)
曲線C:x^2+4y^2=4上を動く点Pと,C上の定点Q(2,0), R(0,1)がある.
(1) \bigtriangleupPQRの面積の最大値と,そのときのPの座標を求めよ.
(2) (1)で求めた点Pに対して直線PQを考える.曲線Cによって囲まれた図形を直線PQで2つに分けたとき,直線PQの下方にある部分の面積を求めよ.

2.(名古屋工業大)
楕円\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{3}=1を原点を中心に反時計回りに角\dfrac{\pi}{6}だけ回転して得られる曲線をCとする.
(1) 曲線Cの方程式を求めよ.
(2) 曲線y=tCと共有点をもつような実数tの範囲を求めよ.
(3) すべての頂点がC上にあり,1辺がx軸に平行な三角形の面積の最大値を求めよ.

3.(名古屋大)
平面上に楕円\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1と直線l:y=x+kを考える.
(1) この楕円と直線lが2つの共有点をもつためにkがみたすべき条件を求めよ.
(2) kは(1)の条件を満たすとし,さらにk \ne 0とする.(1)における2つの共有点をP, Qとし,Oを原点とするとき,三角形OPQの面積を最大にするkの値,およびそのときの面積を求めよ.

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