楕円と直線３

2017年5月10日

線形計画法への応用です。これも円楕円変換で変換したり、そのままでも当然できます。いろいろと試してみて下さい。

１．((1) 島根医大　(2) 同志社大)
(1) 実数 $x,~y$ が2つの不等式 $y \leqq 2x+1,~x^2+2y^2 \leqq 22$ を満たすとき， $x+y$ の値の範囲を求めよ．
(2) 連立不等式 $x^2+4y^2 \leqq 4,~x+2y \geqq 2$ の表す領域を $D$ とする．点 $(x,y)$ が $D$ 内を動くとき， $2x+y$ の最小値を求めよ．また， $2x+y$ の最大値とそのときの $x,~y$ を求めよ．

２．(九州大)
座標平面上の楕円 $\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{(y-1)^2}{4}=1\cdots$ ①を考える．(1) 楕円①と直線 $y=x+a$ が共有点をもつときの定数 $a$ の値の範囲を求めよ．
(2) $|x|+|y|=1$ を満たす点 $(x,y)$ 全体がなす図形の概形をかけ．
(3) 点 $(x,y)$ が楕円①上を動くとき， $|x|+|y|$ の最大値，最小値とそれを与える $(x,y)$ をそれぞれ求めよ．

３．(高知大)
(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の任意の点は $(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$ と表すことができることを示せ．
(2) 楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{3}=1$ を原点の周りに $\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転して得られる曲線を $C$ とする．点 $(x,y)$ が曲線 $C$ 上を動くとき， $k=x+2y$ の最大値を求めよ．