楕円と直線3

線形計画法への応用です。これも円楕円変換で変換したり、そのままでも当然できます。いろいろと試してみて下さい。

1.((1) 島根医大 (2) 同志社大)
(1) 実数x,~yが2つの不等式y \leqq 2x+1,~x^2+2y^2 \leqq 22を満たすとき,x+yの値の範囲を求めよ.
(2) 連立不等式x^2+4y^2 \leqq 4,~x+2y \geqq 2の表す領域をDとする.点(x,y)D内を動くとき,2x+yの最小値を求めよ.また,2x+yの最大値とそのときのx,~yを求めよ.

2.(九州大)
座標平面上の楕円\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{(y-1)^2}{4}=1\cdots①を考える.(1) 楕円①と直線y=x+aが共有点をもつときの定数aの値の範囲を求めよ.
(2) |x|+|y|=1を満たす点(x,y)全体がなす図形の概形をかけ.
(3) 点(x,y)が楕円①上を動くとき,|x|+|y|の最大値,最小値とそれを与える(x,y)をそれぞれ求めよ.

3.(高知大)
(1) 楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1上の任意の点は(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)と表すことができることを示せ.
(2) 楕円x^2+\dfrac{y^2}{3}=1を原点の周りに\dfrac{\pi}{4}だけ回転して得られる曲線をCとする.点(x,y)が曲線C上を動くとき,k=x+2yの最大値を求めよ.

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