双曲線と直線

2017年5月10日

双曲線と直線の位置関係の問題です。双曲線は2つの曲線からなり、双曲線と直線の交点を求める方程式の判別式からはどちらの曲線と交わっているかまでは分かりません。状況をしっかり理解するためにはグラフを利用するか解の配置の問題として解くことになります。

１．(福岡大)
直線 $y=2x+k$ が曲線 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1~(x>0)$ と異なる2点A, A’で交わるとき， $k$ の値の範囲を求めよ．また，線分AA’の中点P $(x,y)$ の軌跡の方程式を求めよ．

２．(静岡大)
双曲線 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1$ を $H$ とし， $H$ の $x>0$ の部分を $H_1$ ， $H$ の $x<0$ の部分を $H_2$ とする．また， $l$ を点P $(2,0)$ を通る傾き $m$ の直線とする．
(1) 直線 $l$ が $H$ と共有点を2個もつような $m$ の範囲を求めよ．
(2) 直線 $l$ が $H_1$ と $H_2$ の両方と共有点をもつような $m$ の範囲を求めよ．
(3) 直線 $l$ と $H_1$ の共有点を $\mbox{P}_1$ とし， $l$ と $H_2$ の共有点を $\mbox{P}_2$ とする．このとき，線分 $\mbox{P}_1\mbox{P}_2$ の中点Mは，ある2次曲線 $C$ の上を動く． $C$ の方程式を求めよ．
(4) (3)で求めた2次曲線 $C$ の焦点の座標を求めよ．

３．(名古屋大)
座標平面上に，双曲線 $C:x^2-y^2=1$ と点A $(2,0)$ がある．
(1) 点Aを通り双曲線 $C$ と1点のみで交わる直線を求めよ．
(2) 直線 $l$ が点Aを通り双曲線 $C$ と相異なる2点で交わるように動くとき，この2点の中点は，あるひとつの双曲線上にあることを示せ．

コメント一覧

まだ、コメントがありません