双曲線と直線

双曲線と直線の位置関係の問題です。双曲線は2つの曲線からなり、双曲線と直線の交点を求める方程式の判別式からはどちらの曲線と交わっているかまでは分かりません。状況をしっかり理解するためにはグラフを利用するか解の配置の問題として解くことになります。

1.(福岡大)
直線y=2x+kが曲線\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1~(x>0)と異なる2点A, A’で交わるとき,kの値の範囲を求めよ.また,線分AA’の中点P(x,y)の軌跡の方程式を求めよ.

2.(静岡大)
双曲線\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1Hとし,Hx>0の部分をH_1Hx<0の部分をH_2とする.また,lを点P(2,0)を通る傾きmの直線とする.
(1) 直線lHと共有点を2個もつようなmの範囲を求めよ.
(2) 直線lH_1H_2の両方と共有点をもつようなmの範囲を求めよ.
(3) 直線lH_1の共有点を\mbox{P}_1とし,lH_2の共有点を\mbox{P}_2とする.このとき,線分\mbox{P}_1\mbox{P}_2の中点Mは,ある2次曲線Cの上を動く.Cの方程式を求めよ.
(4) (3)で求めた2次曲線Cの焦点の座標を求めよ.

3.(名古屋大)
座標平面上に,双曲線C:x^2-y^2=1と点A(2,0)がある.
(1) 点Aを通り双曲線Cと1点のみで交わる直線を求めよ.
(2) 直線lが点Aを通り双曲線Cと相異なる2点で交わるように動くとき,この2点の中点は,あるひとつの双曲線上にあることを示せ.

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