双曲線と円

2017年5月10日

双曲線と円が接するときの問題をいくつか。

１．(宮城教育大)
(1) 点P $(0,p)$ を中心とし，双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,~b>0)$ と異なる2点だけを共有する円 $C$ の半径を求めよ．
(2) 点F $(\sqrt{a^2+b^2},0)$ から，(1)の円 $C$ に引いた2つの接線のなす角を $\theta$ とするとき， $\sin\theta$ の値を求めよ．

２．(和歌山大)
双曲線 $x^2-y^2=1$ の $x>0$ の部分を $C$ とする． $a$ を正の定数とし，点P $\left(0,\dfrac{2}{a}\right)$ に最も近い $C$ 上の点をQとする．また，点R $(0,-a)$ を通る直線が点Sで $C$ に接している．このとき，
(1) 点Qの座標および直線PQの傾きを， $a$ を用いて表せ．
(2) 点Sの座標および直線RSの傾きを， $a$ を用いて表せ．
(3) 3点P, Q, Rを通る円の直径を， $a$ を用いて表せ．

３．(名古屋大)
$a>0,~b>0$ とする．点A $(0,a)$ を中心とする半径 $r$ の円が，双曲線 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ と2点B $(s,t)$ , C $(-s,t)$ で接しているとする．ただし， $s>0$ とする．ここで，双曲線と円が点Pで接するとは，Pが双曲線と円の共有点であり，かつ点Pにおける双曲線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである．
(1) $r,~s,~t$ を， $a$ と $b$ を用いて表せ．
(2) $\bigtriangleup$ ABCが正三角形となる $a$ と $r$ が存在するような $b$ の値の範囲を求めよ．

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