双曲線と円

双曲線と円が接するときの問題をいくつか。

1.(宮城教育大)
(1) 点P(0,p)を中心とし,双曲線\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,~b>0)と異なる2点だけを共有する円Cの半径を求めよ.
(2) 点F(\sqrt{a^2+b^2},0)から,(1)の円Cに引いた2つの接線のなす角を\thetaとするとき,\sin\thetaの値を求めよ.

2.(和歌山大)
双曲線x^2-y^2=1x>0の部分をCとする.aを正の定数とし,点P\left(0,\dfrac{2}{a}\right)に最も近いC上の点をQとする.また,点R(0,-a)を通る直線が点SでCに接している.このとき,
(1) 点Qの座標および直線PQの傾きを,aを用いて表せ.
(2) 点Sの座標および直線RSの傾きを,aを用いて表せ.
(3) 3点P, Q, Rを通る円の直径を,aを用いて表せ.

3.(名古屋大)
a>0,~b>0とする.点A(0,a)を中心とする半径rの円が,双曲線x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1と2点B(s,t), C(-s,t)で接しているとする.ただし,s>0とする.ここで,双曲線と円が点Pで接するとは,Pが双曲線と円の共有点であり,かつ点Pにおける双曲線の接線と点Pにおける円の接線が一致することである.
(1) r,~s,~tを,abを用いて表せ.
(2) \bigtriangleupABCが正三角形となるarが存在するようなbの値の範囲を求めよ.

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