楕円の媒介変数表示1

2017年7月16日

楕円の媒介変数表示 (パラメーター表示)を利用する問題です。楕円の媒介変数表示は円楕円変換とともに楕円の問題を考えるときの強力なツールとなります。特に最大最小の問題で活躍します。最大最小問題は長さや面積を式で表して最大最小を求めるのが原則ですが、もとの2次曲線の式のままやれば2変数関数となるのに対し、媒介変数を利用すれば\sin\theta,~\cos\thetaと実質2文字ではありますが三角関数の公式はたくさん学んでいるので処理しやすくなります。

1.
楕円\dfrac{x^2}{32}+\dfrac{y^2}{16}=1上を動く点Pと点A(1,0)がある.このとき,APの距離の最小値を求めよ.

2.(関西大)
実数tを媒介変数として,x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},~y=\dfrac{4t}{1+t^2}で表される点(x,y)が満たす曲線の方程式をx,~yで表せ.ただし,(x,y) \ne (-1,0)とする.

3.(鳥取大)
媒介変数tの式
x=\dfrac{1+4t+t^2}{1+t^2},~y=\dfrac{3+t^2}{1+t^2}
で表された曲線Cについて,
(1) 曲線Cx,~yの方程式で表せ.
(2) 曲線Cの概形をかけ.
(3) 2定点F, F’と曲線C上の点との距離の和が一定となるような点F, F’の座標を求めよ.

 

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