楕円の媒介変数表示2

2017年7月16日

媒介変数表示を利用する問題をさらにいくつか挙げておきます。

1.(北海道大)
楕円\dfrac{x^2}{4}+y^2=1上の点Pから直線x-2\sqrt{3}y+8=0に下ろした垂線の長さの最大値と最小値を求めよ.また,それぞれの場合に,点Pの座標を求めよ.

2.(大阪大)
a>0とする.C_1を曲線x^2+\dfrac{y^2}{a^2}=1C_2を直線y=2ax-3aとする.
(1) 点PがC_1上を動き,点QがC_2上を動くとき,線分PQの長さの最小値をf(a)とする.f(a)aを用いて表せ.
(2) 極限値{\displaystyle\lim_{a \to \infty}}f(a)を求めよ.

3.((1) 弘前大 (2) 近畿大)
(1) 楕円\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1に内接し,かつ,各辺が座標軸に平行な長方形をSとおく.このとき,Sの面積の最大値を求めよ.
(2) 楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,~b>0)に内接し,辺が座標軸に平行な長方形の面積の最大値を求めよ.

4.(同志社大)
xy平面上に原点を中心とする楕円Eがある.その長軸はx軸上にあり,長さ2a,短軸の長さは2bである(a>b).楕円Eの方程式は(  )である.E上の3点A(-a,0), B(0,-b), P(p,q)が作る\bigtriangleupABPの辺ABを底辺とするときの高さをp,~qで表すと(  )であるから,\bigtriangleupABPの面積をSとすると,S=(~~~~~)である.したがって,S(p,q)=(~~~~~)のときに最大であり,最大値は(  )である.

次の問題は線形計画法のところで出てきた問題と類似していますが、(2)のようなときに最大値を求める式をkとおいても図形としてとらえづらいので別の方法をとります。4も同様です。

5.(東京理科大)
座標平面において,点(x,y)が楕円4x^2+9y^2=36上を動く.このとき,
(1) x+2yの最大値とそのときのx,~yの値を求めよ.
(2) x^2+\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{3}{2}y^2の最大値とそのときのx,~yの値を求めよ.

6.((1) 早稲田大 (2) 福島県立医大)
(1) x,~y2x^2+3y^2=1を満たす実数のとき,x^2-y^2+xyの最大値を求めよ.
(2) 4s^2+t^2=4を満たす実数s,~tについて,12s^2+16st-3t^2の値を最小とするs,~tの値を求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ