双曲線の媒介変数表示

2017年7月16日

双曲線の媒介変数表示の問題です。楕円ほど有名ではありませんが役に立つこともあるので、知っておくに越したことはありません。

1.((2) 福岡大)
(1) 双曲線x^2-4y^2=4上の点で(5,0)に最も近い点の座標と,そのときの距離を求めよ.
(2) 双曲線\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1上の点P\left(\dfrac{4}{\cos\theta},3\tan\theta\right)における接線の傾きを\thetaを用いて表すと(  )となる.また正のx座標をもつこの双曲線の焦点をFとするとき,Pにおける接線が原点OとFを結ぶ線分OFの中点を通るような\cos\thetaの値は(  )である.

2.(福井大)
双曲線C:\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1上に点A\left(\dfrac{4}{\cos\theta},3\tan\theta\right), B(4,0)をとる.ただし,0<\theta<\dfrac{\pi}{2}とする.AにおけるCの接線とBにおけるCの接線との交点をDとし,Cの焦点のうちx座標が正であるものをFとおく.
(1) Dの座標を求めよ.
(2) \tan\dfrac{\theta}{2}=mとおく.\tan\angle\mbox{DFB}mを用いて表せ.
(3) 直線DFは\angle\mbox{AFB}を2等分することを証明せよ.

双曲線の媒介変数表示には次のようなものもあります。

3.(室蘭工業大)
曲線Cが媒介変数tを用いてx=t+\dfrac{1}{t},~y=t-\dfrac{1}{t}と表されているとする.曲線Cを表すxyの方程式を求めよ.

4.(関西大)
媒介変数表示x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,~y=3^t-3^{-t}で表される図形はx,~yについての方程式(~~~~~)=1で定まる双曲線Cx>0の部分である.また,Cの漸近線で傾きが正の漸近線の方程式はy=(~~~~~)である.

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