双曲線の媒介変数表示

2017年5月14日2017年7月16日

双曲線の媒介変数表示の問題です。楕円ほど有名ではありませんが役に立つこともあるので、知っておくに越したことはありません。

１．((2) 福岡大)
(1) 双曲線 $x^2-4y^2=4$ 上の点で $(5,0)$ に最も近い点の座標と，そのときの距離を求めよ．
(2) 双曲線 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ 上の点P $\left(\dfrac{4}{\cos\theta},3\tan\theta\right)$ における接線の傾きを $\theta$ を用いて表すと(　　)となる．また正の $x$ 座標をもつこの双曲線の焦点をFとするとき，Pにおける接線が原点OとFを結ぶ線分OFの中点を通るような $\cos\theta$ の値は(　　)である．

２．(福井大)
双曲線 $C:\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ 上に点A $\left(\dfrac{4}{\cos\theta},3\tan\theta\right)$ , B $(4,0)$ をとる．ただし， $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ とする．Aにおける $C$ の接線とBにおける $C$ の接線との交点をDとし， $C$ の焦点のうち $x$ 座標が正であるものをFとおく．
(1) Dの座標を求めよ．
(2) $\tan\dfrac{\theta}{2}=m$ とおく． $\tan\angle\mbox{DFB}$ を $m$ を用いて表せ．
(3) 直線DFは $\angle\mbox{AFB}$ を2等分することを証明せよ．

双曲線の媒介変数表示には次のようなものもあります。

３．(室蘭工業大)
曲線 $C$ が媒介変数 $t$ を用いて $x=t+\dfrac{1}{t},~y=t-\dfrac{1}{t}$ と表されているとする．曲線 $C$ を表す $x$ と $y$ の方程式を求めよ．

４．(関西大)
媒介変数表示 $x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,~y=3^t-3^{-t}$ で表される図形は $x,~y$ についての方程式 $(~~~~~)=1$ で定まる双曲線 $C$ の $x>0$ の部分である．また， $C$ の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は $y=(~~~~~)$ である．