楕円の接線

2017年5月14日

楕円の接線の問題です。円とほぼ同じなのでセットで覚えておきましょう。これも接線の方程式そのものを導き出す問題もよく出題されるので導き出す方法も理解しておいてください。

１．
(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は， $\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$ であることを証明せよ．ただし， $y_1 \ne 0$ とする．
(2) 点C $(0,3)$ から楕円 $x^2+2y^2=2$ に接線を引くとき，その接線の方程式を求めよ．

２．
だ円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,~b>0)$ の第1象限の部分の任意の1点をPとする．Pにおけるだ円の接線と $x$ 軸， $y$ 軸との交点をそれぞれQ, R，原点をOとする．
(1) $\bigtriangleup$ OQRの面積の最小値を求めよ．
(2) 線分QRの長さの最小値を求めよ．

３．(東北大)
$a>b>0$ とし， $xy$ 平面の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の第1象限の部分を $E$ とする．ただし，第1象限には $x$ 軸と $y$ 軸は含まれない． $E$ 上の点Pにおける $E$ の接線と法線が $y$ 軸と交わる点の $y$ 座標をそれぞれ $h$ と $k$ とし， $L=h-k$ とおく．点Pが $E$ 上を動くとき， $L$ の最小値が存在するための $a$ と $b$ の条件と，そのときの $L$ の最小値を求めよ．

４．(東京電機大)
楕円 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ について
(1) $C$ 上の点 $(a,b)$ における接線の方程式を $a,~b$ を用いて表せ．
(2) $y$ 軸上の点P $(0,t)~(ただし，t>1)$ から $C$ へ引いた2本の接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $t$ を用いて表せ．
(3) (2)の2本の接線と $x$ 軸で囲まれた三角形が，正三角形になるときの $t$ の値と，その正三角形の面積を求めよ．

５．(筑波大)
楕円 $C:\dfrac{x^2}{3}+y^2=1$ 上の点で， $x \geqq 0$ の範囲にあり，定点A $(0,-1)$ との距離が最大となる点をPとする．
(1) 点Pの座標と線分APの長さを求めよ．
(2) 点Qは楕円 $C$ 上を動くとする． $\bigtriangleup$ APQの面積が最大となるとき，点Qの座標および $\bigtriangleup$ APQの面積を求めよ．

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