楕円の接線

楕円の接線の問題です。円とほぼ同じなのでセットで覚えておきましょう。これも接線の方程式そのものを導き出す問題もよく出題されるので導き出す方法も理解しておいてください。

1.
(1) 楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1上の点(x_1,y_1)における接線の方程式は,\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1であることを証明せよ.ただし,y_1 \ne 0とする.
(2) 点C(0,3)から楕円x^2+2y^2=2に接線を引くとき,その接線の方程式を求めよ.

2.
だ円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,~b>0)の第1象限の部分の任意の1点をPとする.Pにおけるだ円の接線とx軸,y軸との交点をそれぞれQ, R,原点をOとする.
(1) \bigtriangleupOQRの面積の最小値を求めよ.
(2) 線分QRの長さの最小値を求めよ.

3.(東北大)
a>b>0とし,xy平面の楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1の第1象限の部分をEとする.ただし,第1象限にはx軸とy軸は含まれない.E上の点PにおけるEの接線と法線がy軸と交わる点のy座標をそれぞれhkとし,L=h-kとおく.点PがE上を動くとき,Lの最小値が存在するためのabの条件と,そのときのLの最小値を求めよ.

4.(東京電機大)
楕円C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1について
(1) C上の点(a,b)における接線の方程式をa,~bを用いて表せ.
(2) y軸上の点P(0,t)~(ただし,t>1)からCへ引いた2本の接線とx軸との交点のx座標をtを用いて表せ.
(3) (2)の2本の接線とx軸で囲まれた三角形が,正三角形になるときのtの値と,その正三角形の面積を求めよ.

5.(筑波大)
楕円C:\dfrac{x^2}{3}+y^2=1上の点で,x \geqq 0の範囲にあり,定点A(0,-1)との距離が最大となる点をPとする.
(1) 点Pの座標と線分APの長さを求めよ.
(2) 点Qは楕円C上を動くとする.\bigtriangleupAPQの面積が最大となるとき,点Qの座標および\bigtriangleupAPQの面積を求めよ.

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