楕円と双曲線の接線

焦点が同じ楕円と双曲線の交点における楕円と双曲線のそれぞれの接線は直交するという有名問題です。まずは具体的な問題から。

1.(青山学院大)
楕円\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{12^2}=1と双曲線\dfrac{x^2}{4^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=1がある.第1象限におけるこれらの2曲線の交点をPとする.
(1) 点Pにおいてこの楕円に引いた接線の方程式を求めよ.
(2) 点Pにおいてこれら2曲線に引いた接線が直交することを示せ.

次に一般の場合です。

2.(北海道大)
楕円C_1:\dfrac{x^2}{\alpha^2}+\dfrac{y^2}{\beta^2}=1と双曲線\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1を考える.C_1C_2の焦点が一致しているならば,C_1C_2の交点でそれぞれの接線は直交することを示せ.

後は発展問題を2つ。

3.(大阪医大)
t<3,~t \ne 1であるtに対応して,\dfrac{x^2}{3-t}+\dfrac{y^2}{1-t}=1によって表されるxy平面上の曲線C_tを考える.a \ne 0,~b \ne 0として平面上の定点A(a,b)をとる.
(1) C_tが点Aを通るようなtは2つあることを証明せよ.
(2) 上の2つのtt_1,~t_2とするとき,曲線C_{t_1},~C_{t_2}のうち1つは楕円で他の1つは双曲線であることを証明せよ.
(3) (2)の曲線C_{t_1},~C_{t_2}の点Aにおける2つの接線は直交することを証明せよ.

4.(大阪大)
楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)と双曲線\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{c^2}=1~(c>0)を考える.点P(s,t)~(s>0,~t>0)を双曲線上にとり,原点Oと点Pを結ぶ線分と楕円との交点をQとする.点Pにおける双曲線の接線がx軸と交わる点をA,点Qにおける楕円の接線がx軸と交わる点をBとする.点Pを直線PAと直線QBが直交するようにとるとき,
(1) 点Pの座標を求めよ.
(2) 点A, Bはそれぞれ楕円,双曲線の焦点であることを示せ.
(3) k0<k<1を満たす定数とする.a,~b,~ca^2+c^2=1,~a^2-b^2=kをみたしながら変化するとき,直線PAと直線QBの交点Rのy座標が最大となるようなa,~b,~cを求めよ.

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