一定値問題

2次曲線ではある長さの和や積やある面積など一定値になることがあり、それが問題になることがあります。その中で接線に関わるものを2つ。

1.(筑波大)
直線l:mx+ny=1が,楕円C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)に接しながら動くとする.
(1) 点(m,n)の軌跡は楕円になることを示せ.
(2) Cの焦点\mbox{F}_1(-\sqrt{a^2-b^2},0)lとの距離をd_1とし,もう1つの焦点\mbox{F}_2(\sqrt{a^2-b^2},0)lとの距離をd_2とする.このときd_1d_2=b^2を示せ.

2.(香川大)
曲線C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1上の点P(x_1,y_1)における曲線の接線をlとする.直線lと曲線Cの2つの漸近線との交点をそれぞれA, Bとし,原点をOとする.また,線分OPを直径とする円と曲線Cの2つの漸近線との交点をそれそれQ, Rとする.ただし,a,~bは正の定数とする.
(1) 直線lの方程式を求めよ.
(2) 点P(x_1,y_1)は線分ABの中点であることを示せ.
(3) \bigtriangleupOABの面積は点P(x_1,y_1)の位置によらず一定であることを示せ.
(4) 2つの線分PQ, PRの長さをそれぞれd,~d'とするとき,積dd'は点P(x_1,y_1)の位置によらず一定であることを示せ.

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