極と極線１

2017年5月14日

極と極線の問題です。円の極と極線の問題についてはすでにやっていますが、円が放物線、楕円、双曲線になっても同じような結果が成り立ちます。まずは円のときの復習から。

１．(名古屋市立大)
双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の1点P $(x_0,y_0)$ から円 $x^2+y^2=1$ に引いた2本の接線の両接点を通る直線を $l$ とする．ただし， $y_0 \ne 0$ とする．
(1) 直線 $l$ は，方程式 $x_0x+y_0y=1$ で与えられることを示せ．
(2) 直線 $l$ は，双曲線に接することを証明せよ．

次は放物線について同様の結果が成り立つことを確認してください。

２．(大分医大)
点P $(x_1,y_1)$ と放物線 $y^2=4x$ があり， $y_1^2>4x_1$ とする．Pからこの放物線に引いた2本の接線の接点をQ, Rとするとき，直線QRの方程式は $y_1y=2(x+x_1)$ であることを証明せよ．

次は楕円と双曲線についてです。次の2題は１とほぼ同じ状況です。

３．(香川大)
楕円 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ および双曲線 $C_2:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ について，次の問いに答えよ．ただし， $a>0,~b>0$ とする．
(1) 楕円 $C_1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は $\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$ であることを示せ．
(2) 楕円 $C_1$ の外部の点 $(p,q)$ を通る $C_1$ 上の2本の接線の接点をそれぞれ $\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2$ とする．直線 $\mbox{A}_1\mbox{A}_2$ の方程式は $\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=1$ であることを示せ．
(3) $(p,q)$ が双曲線 $C_2$ 上の点であるとき，直線 $\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=1$ は $C_2$ に接することを示せ．

４．(早稲田大)
2つの双曲線 $C:x^2-y^2=1,~D:x^2-y^2=-1$ を考える． $C$ 上の点P $(a,b)~(a>0)$ に対して， $C$ のPにおける接線と $D$ との2交点をQ, Q’とする．そして， $D$ のQにおける接線と $D$ のQ’における接線との交点をRとする．このように点Pに対して点Rを対応させる．点Pが $C$ の $x>0$ の部分を動くとき，点Rの軌跡を求めよ．

最後に有名な性質の問題です。

５．
楕円 $C:ax^2+by^2=1$ ( $a,~b$ は正の定数)の外部の点P $(x_0,y_0)$ から，この楕円に引いた2本の接線の接点をQ, Rとする．
(1) 直線QRの方程式を求めよ．
(2) 直線QR上の楕円 $C$ の外部にある点Sから楕円 $C$ に引いた2本の接線の接点をT, Uとすると，直線TUは点Pを通ることを示せ．

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