極と極線2

極と極線の軌跡への応用問題です。円のときも同様の問題がよく出題されます。

1.(岩手大)
xy平面上に直線l:x=3と楕円C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1がある.
(1) 楕円C上の点(x_1,y_1)における接線の方程式は\dfrac{x_1x}{4}+y_1y=1であることを示せ.
(2) 直線l上の点(3,t)から楕円Cにひいた2本の接線の接点をQ, Rとするとき,(1)で求めた接線の方程式を利用して,線分QRの中点Sの座標をtを用いて表せ.
(3) 点Pが直線l上を動くとき,中点Sの軌跡を求めよ.

2.(名古屋市立大)
楕円4x^2+9y^2=1の外部の点L(a,b)から,この楕円に引いた2本の接線の接点をA, Bとし,線分ABの中点をMとする.
(1) Mの座標をa,~bを用いて表せ.
(2) 点Lが楕円\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1の上を動くとき,点Mの軌跡を求めよ.

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