楕円の準円

2017年5月14日

楕円の準円の問題です。放物線と同様に楕円に2本の接線をそれらが直交するように引いたとき、それらの交点の軌跡は円となります。これを楕円の準円といいます。

１．((1) 東京工業大　(2) 大阪市立大)
(1) 楕円 $\dfrac{x^2}{17}+\dfrac{y^2}{8}=1$ の外部の点P $(a,b)$ からひいた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ．
(2) だ円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の外部の点P $(x_0,y_0)$ からこの楕円に引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ．

準円を利用した問題をいくつか。大学入試では頻出です。

２．(慶応大)
$a,~b$ を正の実数とし， $xy$ 平面上の楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ に4点で外接する長方形を考える．
(1) このような長方形の対角線の長さは，長方形の取り方によらず一定であることを証明せよ．また，対角線の長さを $a,~b$ を用いて表せ．
(2) このような長方形の面積の最大値を $a,~b$ を用いて表せ．

３．(慶応大)
(1) 座標 $xy$ 平面における楕円 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ を $C$ とする．点P $(X,Y)$ は楕円 $C$ の外部にあって，すなわち， $\dfrac{X^2}{4}+Y^2>1$ を満たし，点P $(X,Y)$ から $C$ にひいた2本の接線は点P $(X,Y)$ で直交している．このような点P $(X,Y)$ 全体のなす軌跡を求めよ．
(2) 座標 $xy$ 平面において，長軸の長さが4で，短軸の長さが2の楕円を考える．この楕円が，第一象限(すなわち， $\{(x,y)~|~x \geqq 0,~y \geqq 0\}$ )において $x$ 軸， $y$ 軸の両方に接しつつ可能なすべての位置にわたって動くとき，この楕円の中心の軌跡を求めよ．

４．(防衛医大)
座標平面上に，点P $(p,q)$ を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれ $x$ 軸， $y$ 軸に平行であり，それぞれの長さは4, 2である．
(1) この楕円の方程式を求めよ．
(2) 原点から，この楕円に異なる2本の接線が引けるような，点P $(p,q)$ の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3) さらに，原点から，この楕円に2本の直交する接線が引けるような，点P $(p,q)$ の存在範囲を求めて，図示せよ．

５．(大阪歯科大)
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ に外接する正方形は存在するか．存在するならば，その正方形の各頂点の座標を， $a,~b$ を用いて表せ．

６．(東京大)
円 $x^2+y^2=1$ を $C_0$ ，楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,~b>0)$ を $C_1$ とする． $C_1$ 上のどんな点Pに対しても，Pを頂点にもち $C_0$ に外接して $C_1$ に内接する平行四辺形が存在するための必要十分条件を $a,~b$ で表せ．

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