楕円の準円

楕円の準円の問題です。放物線と同様に楕円に2本の接線をそれらが直交するように引いたとき、それらの交点の軌跡は円となります。これを楕円の準円といいます。

1.((1) 東京工業大 (2) 大阪市立大)
(1) 楕円\dfrac{x^2}{17}+\dfrac{y^2}{8}=1の外部の点P(a,b)からひいた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ.
(2) だ円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1の外部の点P(x_0,y_0)からこの楕円に引いた2本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ.

準円を利用した問題をいくつか。大学入試では頻出です。

2.(慶応大)
a,~bを正の実数とし,xy平面上の楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1に4点で外接する長方形を考える.
(1) このような長方形の対角線の長さは,長方形の取り方によらず一定であることを証明せよ.また,対角線の長さをa,~bを用いて表せ.
(2) このような長方形の面積の最大値をa,~bを用いて表せ.

3.(慶応大)
(1) 座標xy平面における楕円\dfrac{x^2}{4}+y^2=1Cとする.点P(X,Y)は楕円Cの外部にあって,すなわち,\dfrac{X^2}{4}+Y^2>1を満たし,点P(X,Y)からCにひいた2本の接線は点P(X,Y)で直交している.このような点P(X,Y)全体のなす軌跡を求めよ.
(2) 座標xy平面において,長軸の長さが4で,短軸の長さが2の楕円を考える.この楕円が,第一象限(すなわち,\{(x,y)~|~x \geqq 0,~y \geqq 0\})においてx軸,y軸の両方に接しつつ可能なすべての位置にわたって動くとき,この楕円の中心の軌跡を求めよ.

4.(防衛医大)
座標平面上に,点P(p,q)を中心とする楕円がある.長軸,短軸がそれぞれx軸,y軸に平行であり,それぞれの長さは4, 2である.
(1) この楕円の方程式を求めよ.
(2) 原点から,この楕円に異なる2本の接線が引けるような,点P(p,q)の存在範囲を求めて,図示せよ.
(3) さらに,原点から,この楕円に2本の直交する接線が引けるような,点P(p,q)の存在範囲を求めて,図示せよ.

5.(大阪歯科大)
楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1に外接する正方形は存在するか.存在するならば,その正方形の各頂点の座標を,a,~bを用いて表せ.

6.(東京大)
x^2+y^2=1C_0,楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,~b>0)C_1とする.C_1上のどんな点Pに対しても,Pを頂点にもちC_0に外接してC_1に内接する平行四辺形が存在するための必要十分条件をa,~bで表せ.

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