極値３

2017年5月18日

極値に関わるいくつか注意しておくべき問題をあげておきます。 $f'(x)=0$ は極値をもつための必要条件ですが十分条件ではありません。まずはその問題から。

１．((1) 水産大学校　(2) 慶応大　(3) 埼玉大)
(1) 3次関数 $f(x)$ に対し，条件 $f'(a)=0$ は， $f(a)$ が極値であるための十分条件ではないことを示す $f(x)$ と $a$ の反例を挙げよ．
(2) 3次関数 $f(x)=x^3+ax^2-2x+1$ が $x=-2$ で極大値をとるとする．このとき，定数 $a$ の値を求めよ．また， $f(x)$ の極小値を求めよ．
(3) 3次関数 $f(x)$ は $x=1,~x=3$ で極値をとるという．また，その極大値は2で，極小値は $-2$ であるという．このとき，条件を満たす関数 $f(x)$ をすべて求めよ．

次は極値をもつ、もたないの問題です。

２．(静岡大)
$a$ を実数とする．関数 $f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12ax$ について，
(1) $f(x)$ が極値をもたないように $a$ の値を定めよ．
(2) $f(x)$ が極値をもつとき，極大値を $a$ を用いて表せ．
(3) $f(x)$ の極大値が32となるとき， $a$ の値を求めよ．