極値3

極値に関わるいくつか注意しておくべき問題をあげておきます。f'(x)=0は極値をもつための必要条件ですが十分条件ではありません。まずはその問題から。

1.((1) 水産大学校 (2) 慶応大 (3) 埼玉大)
(1) 3次関数f(x)に対し,条件f'(a)=0は,f(a)が極値であるための十分条件ではないことを示すf(x)aの反例を挙げよ.
(2) 3次関数f(x)=x^3+ax^2-2x+1x=-2で極大値をとるとする.このとき,定数aの値を求めよ.また,f(x)の極小値を求めよ.
(3) 3次関数f(x)x=1,~x=3で極値をとるという.また,その極大値は2で,極小値は-2であるという.このとき,条件を満たす関数f(x)をすべて求めよ.

次は極値をもつ、もたないの問題です。

2.(静岡大)
aを実数とする.関数f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+12axについて,
(1) f(x)が極値をもたないようにaの値を定めよ.
(2) f(x)が極値をもつとき,極大値をaを用いて表せ.
(3) f(x)の極大値が32となるとき,aの値を求めよ.

次はある区間内に極値をもつための条件を求める問題です。

3.(昭和薬科大)
関数f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-ax^2+4(a^2-9)x+1において
(1) f(x)が極大値,極小値をもつためのaの値の範囲を求めよ.
(2) f(x)x>0で極大値,極小値をもつためのaの値の範囲を求めよ.

4.(東京大)
3次関数f(x)=x^3+ax^2+bxは極大値と極小値をもち,それらを区間-1 \leqq x \leqq 1内でとるものとする.この条件をみたすような実数の組(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ.

解答

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