3次方程式の解の範囲２

2017年5月22日2017年7月3日

１の続きです。2次方程式の解の配置問題の3次方程式バージョンといった問題です。

１．(学習院大)
$a,~b$ を実数とする．3次方程式 $x^3-3ax^2+a+b=0$ が3個の相異なる実数解をもち，そのうち1個だけが負となるための $a,~b$ の満たす条件を求めよ．また，その条件を満たす点 $(a,b)$ の存在する領域を $ab$ 平面上に図示せよ．

→解答

２．(静岡大)
$a,~b$ を実数とする．3次関数 $f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$ について
(1) 関数 $f(x)$ が極値をもつための $a$ の条件を求めよ．
(2) 方程式 $f(x)=0$ が相異なる3つの正の実数解をもつための必要十分条件を $a,~b$ を用いて表し，この条件を満たす点 $(a,b)$ の全体を座標平面上に図示せよ．
(3) 方程式 $f(x)=0$ が2つの相異なる正の実数解と1つの負の実数解をもつための必要十分条件を $a,~b$ を用いて表し，この条件を満たす点 $(a,b)$ の全体を座標平面上に図示せよ．